Formule d’Euler et trigonométrie

Salut ! S’il vous plaît j’ai besoin de votre aide par rapport à cette question :
Écrire sous forme trigonométrique le nombre :
$e^iα + 1$
"le $α$ est en exposant"
Merci d’avance

@Jbuilder Bonsoir

Utilise la relation :
$eiα+1=eiα2(eiα2+e−iα2)e^{i\alpha}+1= e^{i\frac{\alpha}{2}}(e^{i\frac{\alpha}{2}}+e^{-i\frac{\alpha}{2}})$

@Noemi
S’il vous plaît je n’arrive pas à comprendre

@Jbuilder

Tu appliques ensuite $eiα=cos(α)+isin(α)e^{i\alpha}= cos(\alpha)+isin(\alpha)$

$eiα+1=2cos(α2)eiα2e^{i\alpha}+1= 2 cos(\frac{\alpha}{2})e^{i\frac{\alpha}{2}}$

@Noemi
Ok j’ai bien vue maintenant la solution et je vous remercie grandement pour cette aide immense je ne sais quoi vous dire si ce n’est que vous êtes les meilleurs et merci

Bonjour,

@Jbuilder , je regarde ce topic.

C'est très bien que tu aies compris la méthode, mais si c'est la forme trigonométrique qui t'est demandée, l'expression $2cosα2eiα22cos\dfrac{\alpha}{2}e^{i\dfrac{\alpha}{2}}$ n'est pas toujours valable comme "forme trigonométrique".

Tout d'abord, on ne peut mettre sous forme trigonométrique qu'un nombre complexe non nul.
Pour z=0, le module est nul mais l'argument est indéterminé (il peut prendre n'importe quelle valeur)
$z = 0$ <=> $eiα+1=0e^{i\alpha}+1=0$ <=> $eiα=−1e^{i\alpha}=-1$ <=> $eiα=eiπe^{i\alpha}=e^{i\pi}$ <=> $α=π+2kπ\alpha =\pi +2k\pi$ (avec $k∈Zk\in Z$ )

Il faut donc imposer la condition : $α≠π+2kπ\boxed{\alpha\ne \pi +2k\pi}$ (avec $k∈Z)k\in Z)$

Ensuite, la forme trigonométrqiue $reiθre^{i\theta}$ impose $r>0\boxed{r\gt 0}$ (vu qu'il s'agit du module du nombre complexe non nul ).
$2cosα22cos\dfrac{\alpha}{2}$ n'est pas forcément positif vu qu'un cosinus est compris entre -1 et +1.
Il faut donc discuter suivant le signe de $2cosα22cos\dfrac{\alpha}{2}$

1er cas : $cosα2>0cos\dfrac{\alpha}{2} \gt 0$
$cosα2>0cos\dfrac{\alpha}{2} \gt 0$ <=> $−π2+2kπ<α2<π2+2kπ-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\lt \dfrac{\alpha}{2}\lt \dfrac{\pi}{2}+2k\pi$
c'est à dire : $−π+4kπ<α<π+4kπ\boxed{-\pi+4k\pi\lt \alpha\lt \pi+4k\pi}$ (avec $k∈Zk\in Z$ )

dans ce cas, la forme trigonométrique est bien $z=2cosα2eiα2\boxed{z=2cos\dfrac{\alpha}{2}e^{i\dfrac{\alpha}{2}}}$

2ème cas : $cosα2<0cos\dfrac{\alpha}{2}\lt 0$
$cosα2<0cos\dfrac{\alpha}{2}\lt 0$ <=> $π2+2kπ<α2<3π2+2kπ\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\lt \dfrac{\alpha}{2}\lt \dfrac{3\pi}{2}+2k\pi$ ,c'est à dire

$π+2kπ<α<3π+2kπ\boxed{\pi+2k\pi\lt \alpha\lt 3\pi+2k\pi}$ (avec $k∈Zk\in Z$ )

Il faut "ruser"...

$cosα2cos\dfrac{\alpha}{2}$ peut s'écrire $−∣cosα2∣-\biggr|cos\dfrac{\alpha}{2}\biggr|$
donc :
$z=2∣cosα2∣(−eiα2)z=2\biggr|cos\dfrac{\alpha}{2}\biggr|\biggr(-e^{i\dfrac{\alpha}{2}}\biggr)$
$z=2∣cosα2∣((−1)eiα2)z=2\biggr|cos\dfrac{\alpha}{2}\biggr|\biggr((-1)e^{i\dfrac{\alpha}{2}}\biggr)$
$z=2∣cosα2∣(eiπeiα2)z=2\biggr|cos\dfrac{\alpha}{2}\biggr|\biggr(e^{i\pi}e^{i\dfrac{\alpha}{2}}\biggr)$
d'où:
$z=2∣cosα2∣ei(α2+π)\boxed{z=2\biggr|cos\dfrac{\alpha}{2}\biggr|e^{i\biggr(\dfrac{\alpha}{2}+\pi\biggr)}}$

Bonne réflexion sur cette forme trigonométrique.

@mtschoon
Wahou super votre explication m’a permis d’avoir encore plus de compréhension au sujet de ce type de question

Ravie si c'est clair pour toi @Jbuilder !