SVP j ai besoin d aide dans une question de complexe

[Mariem jabloun]

Bonjour
Vrai / faux + justification
∣z∣=3 et z'=z+(1/z) donc ∣z'∣=10/3

[Noemi]

@Mariem-jabloun Bonjour,

L'énoncé est-il complet ?
Utilise l'inégalité triangulaire :
Soient $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes quelconques
$\mid z_1+z_2\mid \le \mid z_1\mid +\mid z_2\mid$
avec l'égalité s'il existe un réel positif $a$ tel que $z_1=a{z}_2$ ou $z_2=a{z}_1$.

[Mariem jabloun]

@Noemi
oui il est complet
c est une question de vrai / faux
j ai pas compris comment cette inégalité peut m aider a avoir la solution

[Noemi]

@Mariem-jabloun

Cette inégalité t'indique que le module d'une somme est inférieure ou égale à la somme des modules
$\frac{10}{3}=3+\frac{1}{3}$
donc
....

[Black-Jack]

Bonjour,

Alternative 1

Pour montrer qu'une proposition est vraie ... on doit la démontrer
Pour montrer qu'une proposition est fausse ... il suffit de trouver un seul contre exemple.

Pour que avec z = x + iy on ait |z| = 3, il faur que x²+y² = 3² = 9, par exemple x = 1 et y = sqrt(8)
z = 1 + V8.i
qui donne 1/z = (1 - i.V8)/9
z + 1/z = 10/9 + i.(8/9).V8
|z + 1/z|² = 100/81 + (64*8)/81 = 612/81
... qui est différent de (10/3)²
Et donc la proposition est fausse.

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Alternative 2

z = x + iy avec x²+y² = 3² = 9
1/z = (x-iy)/(x²+y²) = x/9 -i.y/9

z + 1/z = x + x/9 + i.(y - y/9)
z + 1/z = 10x/9 + i*8y/9
|z + 1/z|² = 100x²/81 + 64y²/81 = 64/81 * (x²+y²) + 36x²/81 = 64/81 * 9 + 4x²/9 = 64/9 + 4x²/9
... qui n'est pas une constante pour tout x compris dans [-3 ; 3] --> la proposition est fausse.

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[Mariem jabloun]

@Noemi
dans ce cas z' peut être égale a 10/3 puisque
∣z'∣≤∣z ∣+∣1/z∣ (ou egale)

[Noemi]

@Mariem-jabloun

Non,
Vérifie, quel est le module de $z^{\prime }$ si $z=3$.

[mtschoon]

Bonsoir,

@Mariem-jabloun ,

Si l'on résume ce qui a été dit,
|z|=3 => $|z^{\prime }|\le \frac{10}{3}$

Cela veut dire que |z|=3 => $|z^{\prime }|<\frac{10}{3}$ OU $|z^{\prime }|=\frac{10}{3}$

La proposition serait VRAIE si : |z|=3 => $|z^{\prime }|=\frac{10}{3}$ (exclusivement)

Tu as déjà un contre -exemple.

Je t'en indique un autre :

Pour $z=3i$, donc $|z|=3$, si tu fais le calcul, tu trouves $|z^{\prime }|=\frac{8}{3}$ donc dans cet exemple $|z^{\prime }|<\frac{10}{3}$

Par contre, si tu prends $z=3$ donc $|z|=3$, tu trouves $|z^{\prime }|=\frac{10}{3}$

En bref, la conclusion $|z^{\prime }|=\frac{10}{3}$ n'est pas toujours exacte.
La proposition de l'énoncé est "FAUSSE".

Je ne sais pas si c'est clair...à toi de juger...