4. Nombre complexe Exercice 4

Nombre complexe Exercice 4

  • Joyca2

    Bonsoir,Pouvez-vous m'aider à resoudre cet exercice svp?
    Resoudre : (2𝑧+1/𝑧−1)*4=1 𝑧∈ℂ

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @Joyca2 Bonsoir,

    L'équation est-elle : (2z+1z−1)4=1(\dfrac{2z+1}{z-1})^4=1(z−12z+1​)4=1 ?

    Joyca2 1 réponse
  • mtschoon

    Bonsoir,

    Tu connais maintenant la méthode @Joyca2 .

    Tu poses Z=2z+1z−1Z=\dfrac{2z+1}{z-1}Z=z−12z+1​

    Tu commences par résoudre l'équation auxiliaire Z4=1Z^4=1Z4=1

    Ne te lance pas dans des calculs algébriques.
    Pense plutôt aux racines quatrièmes de 1

  • Joyca2

    @Noemi effectivement !

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @Joyca2

    Suis les conseils de mtschoon.

    Indique tes éléments de réponse.

    Joyca2 1 réponse
  • Joyca2

    @Noemi Aprés plusieurs calculer j'ai trouver les solutions de Z : (1,i,-1,-i)
    Vu qu'ici on nous a indique que Z doit appartenir à l'ensemble des complexes,les solutions sont donc Z : (i et -i) Est ce correct ?

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @Joyca2

    Un nombre complexe s'écrit sous la forme z=a+biz=a+biz=a+bi avec aaa et bbb réel, donc ...

    Tu as trouvé les valeurs pour Z.
    cherche les valeurs pour z.

  • B

    Bonjour,

    Après avoir terminé par la piste donnée par Noemi ...

    Alternative.

    ((2z+1)/(z-1))^4 = 1

    ((2z+1)/(z-1))^4 = e^(i.2k.Pi)

    (2z+1)/(z-1) = e^(i.2k.Pi/4)
    (2z+1)/(z-1) = e^(i.k.Pi/2)
    2z+1 = (z-1).e^(i.k.Pi/2)

    z(2 - e^(i.k.Pi/2)) = -1 - e^(i.k.Pi/2)

    z = - (1 + e^(i.k.Pi/2))/(2 - e^(i.k.Pi/2))

    Avec k = 0, 1 , 2 ou 3 ...

    z0 = - (1 + e^0)/(2 - e^0)
    z0 = -2

    z1 = - (1 + e^(i.Pi/2))/(2 - e^(i.Pi/2))
    avec e^(i.Pi/2) = cos(Pi/2) + i.sin(Pi/2) = i

    --> z1 = -(1 + i)/(2 - i) = -(1 + i)(2+i)/5
    z1 = -(2+i+2i-1)/5
    z1 = -(1/5) - (3/5).i

    z2 = ...

    z3 = ...

  • mtschoon

    Bonjour,

    Comme au départ, j'avais suggéré à @Joyca2 de chercher les racines 4ème de 1, je me sens un peu obligée de terminer les pistes relatives à cette voie...

    Donc, déjà trouvé, Z4=1Z^4=1Z4=1 a pour solutions 1,−1,i,−i1,-1, i,-i1,−1,i,−i

    Retour à zzz, avec la condition z≠1z\ne 1z​=1

    1er cas :2z+1z−1=1\dfrac{2z+1}{z-1}=1z−12z+1​=1 c'est à dire 2z+1=z−12z+1=z-12z+1=z−1
    On transpose
    Equation du premier degré ; solution z=−2z=-2z=−2

    2ème cas :2z+1z−1=−1\dfrac{2z+1}{z-1}=-1z−12z+1​=−1
    Même principe ; solution z=0z=0z=0

    3ème cas :2z+1z−1=i\dfrac{2z+1}{z-1}=iz−12z+1​=i
    Même principe ; solution z=−15−35iz=-\dfrac{1}{5}-\dfrac{3}{5}iz=−51​−53​i

    4ème cas :2z+1z−1=−i\dfrac{2z+1}{z-1}=-iz−12z+1​=−i
    Même principe ; solution z=−15+35iz=-\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{5}iz=−51​+53​i

    Un conseil @Joyca2 , pour t'entraîner, tu fais les deux méthodes et tu vérifies que tu trouves pareil.

    Bons calculs.

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