Nombre Complexe Exercice 5
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Joyca2 dernière édition par
Bonjour,Pouvez-vous m'aider à resoudre cet exercice svp?
Sachant que le polynôme P(z) possède une solution imaginaire pure, détermine celle-ci et déduis en les autres solutions.
P(z) = z³+z².(1-2i)+z.(i-1)+2i+6
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@Joyca2 Bonjour,
Pose z=yiz=yiz=yi et cherche la valeur de yyy telle que P(yi)=0P(yi)=0P(yi)=0
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mtschoon dernière édition par mtschoon
Bonjour,
Je pense que @Joyca2 a abandonné cet exercice vu la quantité d'exercices pour lesquels il demande de l'aide.
Pour consultation éventuelle, j'indique quelques pistes pour la résolution .
Recherche d'une solution imaginaire pure de la forme z=yiz=yiz=yi , avec y réel
Comme indiqué : f(yi)=0f(yi)=0f(yi)=0En remplaçant zzz par yyyi, après transformations, on obtient:
(−y2−y+6)+i(−y3+2y2−y+2)=0(-y^2-y+6)+i(-y^3+2y^2-y+2)=0(−y2−y+6)+i(−y3+2y2−y+2)=0 c'est à dire :
{−y2−y+6=0−y3+2y2−y+2=0\begin{cases}-y^2-y+6=0\cr -y^3+2y^2-y+2=0\end{cases}{−y2−y+6=0−y3+2y2−y+2=0−y2−y+6=0-y^2-y+6=0−y2−y+6=0 <=> y=2y=2y=2 ou y=−3y=-3y=−3
(équation du second degré)En substituant dans −y3+2y2−y+2=0-y^3+2y^2-y+2=0−y3+2y2−y+2=0 on trouve que seule la valeur y=2y=2y=2 convient.
La solution imabinaire pure est donc 2i\boxed{2i}2i
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mtschoon dernière édition par mtschoon
Conséquence : on peut mettre (z−2i)(z-2i)(z−2i) en facteur.
P(z)=(z−2i)(az2+bz+c)P(z)=(z-2i)(az^2+bz+c)P(z)=(z−2i)(az2+bz+c)
On précède par identification avec l'espression de départ, pour trouvera,b,ca,b,ca,b,c.
Après calculs : a=1,b=1,c=−1+3ia=1, b=1, c=-1+3ia=1,b=1,c=−1+3i
Donc :
P(z)=(z−2i)(z2+z−1+3i)\boxed{P(z)=(z-2i)(z^2+z-1+3i)}P(z)=(z−2i)(z2+z−1+3i)P(z)=0P(z)=0P(z)=0 <=>z=2iz=2iz=2i ou z2+z−1+3i=0z^2+z-1+3i=0z2+z−1+3i=0
z2+z−1+3i=0z^2+z-1+3i=0z2+z−1+3i=0 équation du second degré.
Δ=5−12i\Delta=5-12iΔ=5−12iIl faut chercher les racines carrées complexes +δ+\delta+δ et −δ-\delta−δ de 5−12i5-12i5−12i :
(α+iβ)2=5−12i(\alpha+i\beta)^2=5-12i(α+iβ)2=5−12i
Après développements et regroupements , et ajoutant l'égalité des modules poursimplifier la résolution, on obtient :
{α2−β2=5αβ=−6α2+β2=13\begin{cases}\alpha^2-\beta^2=5 \cr \alpha\beta=-6\cr \alpha^2+\beta^2=13 \end{cases}⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧α2−β2=5αβ=−6α2+β2=13
D'où :
les racines carrées complexes de 5-12i$ sont +δ=3−2i+\delta=3-2i+δ=3−2i et −δ=−3+2i-\delta=-3+2i−δ=−3+2iLes solutions de z2+z−1+3i=0z^2+z-1+3i=0z2+z−1+3i=0 sont , après utilisation des formules usuelles,
z1=−1+3−2i2=1−iz_1=\dfrac{-1+3-2i}{2}=1-iz1=2−1+3−2i=1−i et z2=−1−3+2i2=−2+iz_2=\dfrac{-1-3+2i}{2}=-2+iz2=2−1−3+2i=−2+iConclusion :
Les solutions de P(z)=0P(z)=0P(z)=0 sont 2i,1−i,−2+i\boxed{2i,1-i,-2+i}2i,1−i,−2+iBon courage pour les calculs !
