Calcul d'une ellipse

Bonjour.

Je cherche à calculer le périmètre d'une ellipse. Il y a bien des calculateurs en ligne grand public, mais malheureusement aucun ne me renvoies le même résultat...

Je me demande pourquoi, et dans ce cas, à quel calculateur me fier pour être au plus précis svp ?

Merci d'avance.
Bonne soirée

@StankaB231 Bonjour,

Il existe plusieurs formules qui donnent une valeur approchée du périmètre d'une ellipse.
Le résultat dépend de la précision attendue.

Un lien pour les différentes relations : http://villemin.gerard.free.fr/Geometri/Coniques/ElliPeri.htm

Merci. Je connaissais ce site. Ma question est: comment se fait-il que nous ne savons pas calculer précisément ce périmètre ?

Bonjour,

La valeur exacte du périmètre de l'ellipse d'équation x²/a² + y²/b² = 1 peut s'exprimer exactement par

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{a^2 - (a^2-b^2).sin^2(x)} dx$

Mais, on tombe sur une intégrale elliptique...

Si on veut une bonne précision, on peut utiliser un logiciel qui calcule cette intégrale définie.
Ce sera évidemment avec la précision liée à leur algorithme de calcul ... mais ce sera probablement plus précis que toutes les formules approximatives qu'on trouve un peu partout.

Merci pour votre réponse mais est-ce que vous savez pourquoi il faut en passer par une intégrale pour faire ce calcul, qui pourtant devrait être élémentaire du fait qu'une ellipse c'est une forme élémentaire. C'est bizarre non ?

@StankaB231 a dit dans Calcul d'une ellipse :

Merci pour votre réponse mais est-ce que vous savez pourquoi il faut en passer par une intégrale pour faire ce calcul, qui pourtant devrait être élémentaire du fait qu'une ellipse c'est une forme élémentaire. C'est bizarre non ?

Bonjour,

On démontre facilement que le périmètre de l'ellipse peut être calculé par l'intégrale que j'ai donnée.
On peut l'écrire sous d'autres formes par changement de variables par exemple ... mais quoi qu'on fasse, cela reste une intégrale elliptique et on ne peut pas en écrire le résultat exact sous une forme simple.

Il n'y a pas à chercher "pourquoi", c'est ainsi.

Si on a besoin de calculer le périmètre d'une ellipse, soit on utilise une des nombreuses formules approchées qui ont été imaginées et on a un résultat parfois très approximatif, soit on calcule l'intégrale avec un logiciel qui travaille par petits incréments de la variable x et qui somme les dl trouvés ... et on a une précision qui dépend du nombre d'incréments utilisés et de la précision de calculs du logiciel.

Souvent, le "calculateur d'intégrales" de la plupart des calculettes permet d'avoir une précision suffisante pour la grande majorité des applications pratiques.

@Black-Jack a dit dans Calcul d'une ellipse :

@StankaB231 a dit dans Calcul d'une ellipse :

Merci pour votre réponse mais est-ce que vous savez pourquoi il faut en passer par une intégrale pour faire ce calcul, qui pourtant devrait être élémentaire du fait qu'une ellipse c'est une forme élémentaire. C'est bizarre non ?

Bonjour,

On démontre facilement que le périmètre de l'ellipse peut être calculé par l'intégrale que j'ai donnée.
On peut l'écrire sous d'autres formes par changement de variables par exemple ... mais quoi qu'on fasse, cela reste une intégrale elliptique et on ne peut pas en écrire le résultat exact sous une forme simple.

Il n'y a pas à chercher "pourquoi", c'est ainsi.

Si on a besoin de calculer le périmètre d'une ellipse, soit on utilise une des nombreuses formules approchées qui ont été imaginées et on a un résultat parfois très approximatif, soit on calcule l'intégrale avec un logiciel qui travaille par petits incréments de la variable x et qui somme les dl trouvés ... et on a une précision qui dépend du nombre d'incréments utilisés et de la précision de calculs du logiciel.

Souvent, le "calculateur d'intégrales" de la plupart des calculettes permet d'avoir une précision suffisante pour la grande majorité des applications pratiques.

J'ai entendu dire que ce mystère du calcul du périmètre de l'ellipse nécessitant d'en passer par une intégrale pour un maximum de précision était dû au fait que l'ellipse traduirait en fait une dynamique rotationnelle, étant celle d'un cercle en rotation sur lui-même et suivant les plans X, Y et Z.

Il faut dans ce cas fixer un point d'observation, qu'en pensez-vous ?

@StankaB231

Pour calculer la longueur d'un arc de courbe, on décompose celle-bien segment.
Un lien vers un cours : https://fadagogo.com/calcul2/html/loncour.html

Bonjour,

@StankaB231 , je regarde ce topic et je vois que tu est en Première.
En Première( programmes français) on ne traite pas le calcul intégral.
Il faut attendre la Terminale pour cela.
Alors, je pense que tu ne peux pas vraiment apprécier les aides données à ta question.
Soit patient ; l'an prochain tu auras les bases nécessaires.