Thalès application du théorème.

[kadforu]

Bonjour,

B milieu de [AC].
Démontrer que BB' = 1/2*(AA' + CC')

EA/EB=EA'/EB'=AA'/BB'=K
EB/EC=EB'/EC'=BB'/CC'=K'

J'arrive à: AA' + CC'=(k+k')*BB'
Mais je ne sais pas comment prouver que k+k'=1/2
Ou peut être j'ai mal commencé.
Merci d'avance.

[Noemi]

@kadforu Bonjour,

Utilise la relation de Chasles :
$\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$
$\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }{B}^{\prime }}$

Fais la somme

[kadforu]

BB′=BA+AA′+A′B′
BB′=BC+CC′+C′B′

2BB'=AA'+CC'
donc BB'=1/2*(AA' + CC')

Mais on ne justifie pas que B' milieu de [A'C'] ?

[mtschoon]

Bonjour,

@kadforu, regarde ici Segments homologues.
https://www.techno-science.net/definition/6505.html

Trois droites parallèles déterminent sur deux sécantes (quelconques) des segments homologues proportionnels.

Tu peux écrire , en longueurs,

$\frac{AB}{BC}=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{B^{\prime }{C}^{\prime }}$

Vu que $AB=BC$ , $\frac{AB}{BC}=1$ donc $\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{B^{\prime }{C}^{\prime }}=1$ donc $A^{\prime }{B}^{\prime }=B^{\prime }{C}^{\prime }$

Les vecteurs étant de même sens :
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$ =>$\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$

B étant le milieu de [AC], B' est le milieu de [A'C']

[kadforu]

Merci pour ta réponse.
Je ne connaissais pas la propriété: "Segments homologues". J'ai appris quelque chose.

D'après le lien, le théorème de Thalès était connu des Babyloniens et Euclide l'a démontré, alors Thalès, se l'ai approprié ?

[mtschoon]

Je ne suis pas spécialiste en histoire des mathématiques, mais effectivement dans un document du clg-monnet-briis.ac-versailles.fr , on peut lire