3. Exercice Maths Expertes ( matrices,complexes quaternions)

Exercice Maths Expertes ( matrices,complexes quaternions)

  • C

    Bonjour, j’ai des difficultés sur un exercice en effet il mélange les matrices et les complexes et il parle aussi de quaternions, c’est là que je bloque car je n’ai jamais étudié les quaternions.
    J’espère que vous allez pouvoir m’aider je vous met l’énoncé et ce que je pense avoir réussi.

    EXERCICE
    L'objectif de cet exercice est de découvrir, à l'aide de matrices et de nombres complexes, certaines propriétés des quaternions découvertes par le mathématicien (mais aussi physicien et astronome) William Rowan Hamilton (1805-1865).
    L'ensemble des quaternions est noté H. On note q = a + bi + cj + dk appartient à H qui peut être identifié par le couple (z1, z2) appartenant a C² : q = z1 +jz2 avec z1 = a + bi et z2 = c - di

    On définit les matrices suivantes :
    1=
    1 0
    0 1

    I=
    i 0
    0 -i

    J=
    0 -1
    1 0

    K=
    0 -i
    -i 0

    Ces matrices sont respectivement les quaternions 1, i,j et k.

    1. Calculez I², J², K² et IJK.

    2. Calculez IJ, IK, JI, KI, KJ et JK.

    3. Soit M et N deux quaternions (M, N appartient à H) :
      M=
      1+i 1-i
      1 i

    N=
    i 1-i
    i -1

    Calculer M x N et N x M
    4. Soit (M, N, P) appartient a H³ avec M et N de la question précédente et
    P =
    i 2
    -2 -i
    Montrer que (M x N) x P = M x (N x P)
    ( Il reste une dernière question mais je vais déjà essayé de comprendre celle-ci et je pourrais surement réussir la 5 avec les précédentes)

    Alors voici ce que j'ai fait:

    1. I²=J²=K²=
      -1 0
      0 -1
      IJK=
      -1 0
      0 -1
    2. IJ = K
      IK= -J
      JI= -K
      KI= J
      KJ= - I
      JK= I

    Ensuite pour les questions qui suivent je ne comprend pas comment faire car j'ai l'impression qu'à aucun moment j'utilise les quaternions...

    Merci d'avance pour votre aide

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @Celia Bonsoir,

    Pour la question 3, applique le même raisonnement que pour les questions 1 et 2.

  • C

    Bonsoir, merci pour votre réponse réponse j'ai donc trouvé que:
    3) MxN =
    2i 1+i
    -1+i 1-2i
    NxM =
    0 2+2i
    -2+i 1

    J'ai calculé de la même manière (MxN)xP et Mx(NxP) et je trouve bien que les deux sont égales.

    Mais je ne comprend pas car c'est a chaque fois des produits entre les matrices et a aucun moment je me sert des quaternions et ce que l'on me dit dessus...
    Peut être que c'est dans la dernière question mais je n'ai pas l'impression car c'est montrer que M est inversible déterminer M^-1 etc

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @Celia

    Un cours qui introduit les quaternions : http://www.normalesup.org/~baglio/maths/TIPE2003.pdf

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