Fonction racine carrée, asymptotes, graphique

Bonjour j'ai besoin d'aide pour un devoir sur les fonctions
Voici l'énoncé : on considère la fonction f(x)= x+ Racine carré de x² -2x+ a où a désigne un paramètre Supérieur ou égal à 1.

(A) déterminer le domf

(B) déterminez les éventuelles assymptotes

(C) faites un graphique

Merci à ceux qui prendront le temps de me répondre

@__mnl__elm__ Bonjour,

La fonction est-elle ? $x+\sqrt{x^2-2x+a}$
Si oui, pour la question (A) résous l'inéquation : $x2−2x+a≥0x^2-2x+a \geq 0$
que tu peux écrire sous la forme : $(x−1)2+a−1≥0(x-1)^2+a-1 \geq0$

@Noemi Je vois et donc pour l'exercice B pour calculer mes assymptotes je peux partir du même calcul ?

@__mnl__elm__

Calcule les limites en $+∞+\infty$ et $−∞-\infty$ .
Cherche l'asymptote oblique.

Bonjour,

@__mnl__elm__ ,

Tu ne dis pas ce que tu as trouvé comme ensemble de définition.
Avec la piste de @Noemi , j'espère que tu as trouvé $D_f=R$

Je suis surprise que l'étude des variations de f ne soit pas demandée...
Tu aurais dû trouver dérivée positive donc fonction croissante.

Quelques pistes pour les limites.

Lorsque x tend vers $−∞-\infty$ , tu as une forme indéterminée du type " $∞−∞\infty-\infty$ "
Pour lever l'indétermination, pense à utiliser la quantité conjuguée.
$f(x)=(x+x2−2x+a)(x−x2−2x+a)x−x2−2x+af(x)=\dfrac{(x+\sqrt{x^2-2x+a})(x-\sqrt{x^2-2x+a})}{x-\sqrt{x^2-2x+a}}$

$f(x)=x2−(x2−2x+a)x−x2−2x+a=2x−ax−x2−2x+af(x)=\dfrac{x^2-(x^2-2x+a)}{x-\sqrt{x^2-2x+a}}=\dfrac{2x-a}{x-\sqrt{x^2-2x+a}}$

$f(x)=2x−ax−x2(1−2/x+a/x2)f(x)=\dfrac{2x-a}{x-\sqrt{x^2(1-2/x+a/x^2)}}$

Tu sais que $x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|$

Pour $x<0x\lt 0$ , $x2=−x\sqrt{x^2}=-x$

Donc $f(x)=2x−ax+x1−2/x+a/x2f(x)=\dfrac{2x-a}{x+x\sqrt{1-2/x+a/x^2}}$

Tu mets $x$ en facteur au numérateur et au dénominateur.
Tu simplifies par $x$
Tu en déduis la limite :
$lim⁡x→−∞f(x)=1\boxed{\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=1}$
La droite d'équation $y = 1$ est donc asymptote à la courbe en $−∞-\infty$

@__mnl__elm__ ,

En + $∞\infty$ , il n'y a pas d'indétermination
Tu dois trouver :
$lim⁡x→+∞f(x)=+∞\boxed{\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty}$

Il peut donc y avoir une asymptote oblique de la forme $y = a x + b$ .
Pour trouver $a$ , tu cherches la limite de $f(x)x\dfrac{f(x)}{x}$ :
Tu dois trouver, sauf erreur :
$lim⁡x→+∞f(x)x=2\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=2$ donc $a=2\boxed{a=2}$

Ensuite, pour trouver $b$ , tu cherches la limite de $f (x) - a x$
Tu dois trouver, sauf erreur :
$lim⁡x→+∞[f(x)−2x]=−1\displaystyle \lim_{x\to +\infty}[f(x)-2x]=-1$ don $b=−1\boxed{b=-1}$

En $+∞+\infty$ , la courbe a une asymptote oblique l'équation : $y=2x−1\boxed{y=2x-1}$

Tous les calculs sont à faire en $+∞+\infty$ .
Je t'ai seulement donné piste/résultats.

Resposte si besoin.

@mtschoon merci beaucoup de votre aide je suis tombée sur le même résultat. Bonne soirée à vous

De rien @__mnl__elm__ ,
C'est parfait si tu as tout démontré.
Bonne soirée à toi.

Bonjour,

Illustration graphique

Les deux asymptotes sont en rouge
Les courbes d'équation $y=x+x2−2x+ay=x+\sqrt{x^2-2x+a}$ sont représentées pour $a = 2, a = 3, a = 4, a = 5$

paramètre.jpg

@mtschoon merci énormément, je rencontrais quelques difficultés pour le graphique. Bonne fin de journée à vous

@__mnl__elm__ , de rien et bonne soirée à toi.

@__mnl__elm__ , bonjour,

Evidemment $a∈]1,+∞[a\in ]1,+\infty[$
$a$ peut prendre une infinité de valeurs et à chaque valeur de $a$ correspond une courbe.
Tu peux te contenter que prendre une valeur pour $a$ (strictement supérieure à 1) ou quelques valeurs pour améliorer l'illustration.

A+