Résolution inéquation


  • H

    Bonsoir, j'ai vraiment besoin d'aide je suis désespérée svp.
    La question est la suivante :
    "Démontrer alors que pour tout entier naturel n non nul : Un >= ln(n+1)"
    Sachant que :
    Un= 1 + 1/2 + 1/3 +...+1/n
    Un+1= Un + 1/n+1
    U1= 1
    U2=1,5
    U3=11/6
    U20=3,60
    U100=5,19
    U500=6,79
    ln(1+x)<= x
    ln(n+1)-ln(n)<= 1/n
    Voilà c'est toutes les informations qui me sont données. Je sais également qu'il faut répondre à la question par une démonstration par récurrence. Merci beaucoup d'avance !

    <= ça veut dire inférieur ou égal


  • N
    Modérateurs

    @helppppp Bonjour,

    Je suppose que tu as vérifié l'inéquation pour les premiers termes et que ce qui te bloque c'est démontrer que la propriété est vraie à l'ordre n+1n+1n+1.
    L'énoncé comporte t-il une fonction ?
    Etude des variations ?


  • mtschoon

    Bonjour,

    @helppppp , il y a d'autres façons pour démontrer la propriété que tu cherches (avec la fonction f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x}f(x)=x1 pour x>0x\gt 0x>0 et une intégrale, par exemple).

    Visiblement, c'est une récurrence qui est demandée.

    C'est bizarre que toutes ces informations soient données...

    Avec toutes ces informations, si elles peuvent être utilisées sans démonstrations ( ? ? ? ) , tu as tout ce qu'il faut pour la récurrence.

    Un=1+12+13+...+1nU_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}Un=1+21+31+...+n1 (série harmonique)

    Il faut prouver que pour tout n de N∗N^*N : Un≥ln(n+1)U_n\ge ln(n+1)Unln(n+1)

    Initialisation pour n=1n=1n=1
    Tu justifies facilement que U1≥ln(2)U_1\ge ln(2)U1ln(2) vu que U1=1U_1=1U1=1 et ln(2)≈0.69ln(2)\approx 0.69ln(2)0.69

    Hérédité
    Hypothèse à un ordre nnn de N∗N^*N : Un≥ln(n+1)U_n\ge ln(n+1)Unln(n+1)
    Conclusion à démontrer à l'ordre (n+1)(n+1)(n+1) : Un+1≥ln(n+2)U_{n+1}\ge ln(n+2)Un+1ln(n+2)

    Piste de la démonstration :
    Avec l'hypothèse de la récurrence : Un≥ln(n+1)U_n\ge ln(n+1)Unln(n+1)
    On ajoute 1n+1\dfrac{1}{n+1}n+11 à chaque membre :
    Un+1n+1≥ln(n+1)+1n+1U_n+\dfrac{1}{n+1}\ge ln(n+1)+\dfrac{1}{n+1}Un+n+11ln(n+1)+n+11
    C'est à dire :
    Un+2≥ln(n+1)+1n+1U_{n+2}\ge ln(n+1)+\dfrac{1}{n+1}Un+2ln(n+1)+n+11

    D'après tes informations, si la propriété que tu indiques "ln(n+1)-ln(n)<= 1/n" est applicable pour tout n , tu peux écrire : ln(n+2)−ln(n+1)≤1n+1ln(n+2)-ln(n+1)\le \dfrac{1}{n+1}ln(n+2)ln(n+1)n+11
    donc , en transposant, ln(n+1)+1n+1≥ln(n+2)ln(n+1)+\dfrac{1}{n+1}\ge ln(n+2)ln(n+1)+n+11ln(n+2)

    D'où, Un+2≥ln(n+1)+1n+1≥ln(n+2)U_{n+2}\ge ln(n+1)+\dfrac{1}{n+1}\ge ln(n+2)Un+2ln(n+1)+n+11ln(n+2)

    Par transitivité de la relation ≥\ge, tu déduis :
    Un+2≥ln(n+2)U_{n+2}\ge ln(n+2)Un+2ln(n+2)

    CQFD.

    Conséquence non demandée.
    J'imagine que le but est de prouver que (UnU_nUn) est divergente.
    Vu que pour tout n de N∗N^*N : Un≥ln(n+1)U_n\ge ln(n+1)Unln(n+1)

    lim⁡n→+∞ln(n+1)=+∞\displaystyle \lim_{n\to +\infty}ln(n+1)=+\inftyn+limln(n+1)=+ donc lim⁡n→+∞Un=+∞\displaystyle \lim_{n\to +\infty} U_n=+\inftyn+limUn=+