Résolution inéquation

[helppppp]

Bonsoir, j'ai vraiment besoin d'aide je suis désespérée svp.
La question est la suivante :
"Démontrer alors que pour tout entier naturel n non nul : Un >= ln(n+1)"
Sachant que :
Un= 1 + 1/2 + 1/3 +...+1/n
Un+1= Un + 1/n+1
U1= 1
U2=1,5
U3=11/6
U20=3,60
U100=5,19
U500=6,79
ln(1+x)<= x
ln(n+1)-ln(n)<= 1/n
Voilà c'est toutes les informations qui me sont données. Je sais également qu'il faut répondre à la question par une démonstration par récurrence. Merci beaucoup d'avance !

<= ça veut dire inférieur ou égal

[Noemi]

@helppppp Bonjour,

Je suppose que tu as vérifié l'inéquation pour les premiers termes et que ce qui te bloque c'est démontrer que la propriété est vraie à l'ordre $n+1$.
L'énoncé comporte t-il une fonction ?
Etude des variations ?

[mtschoon]

Bonjour,

@helppppp , il y a d'autres façons pour démontrer la propriété que tu cherches (avec la fonction $f(x)=\frac{1}{x}$ pour $x>0$ et une intégrale, par exemple).

Visiblement, c'est une récurrence qui est demandée.

C'est bizarre que toutes ces informations soient données...

Avec toutes ces informations, si elles peuvent être utilisées sans démonstrations ( ? ? ? ) , tu as tout ce qu'il faut pour la récurrence.

$U_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$ (série harmonique)

Il faut prouver que pour tout n de $N^{\ast }$ : $U_n\ge ln(n+1)$

Initialisation pour $n=1$
Tu justifies facilement que $U_1\ge ln(2)$ vu que $U_1=1$ et $ln(2)\approx 0.69$

Hérédité
Hypothèse à un ordre $n$ de $N^{\ast }$ : $U_n\ge ln(n+1)$
Conclusion à démontrer à l'ordre $(n+1)$ : $U_{n+1}\ge ln(n+2)$

Piste de la démonstration :
Avec l'hypothèse de la récurrence : $U_n\ge ln(n+1)$
On ajoute $\frac{1}{n+1}$ à chaque membre :
$U_n+\frac{1}{n+1}\ge ln(n+1)+\frac{1}{n+1}$
C'est à dire :
$U_{n+2}\ge ln(n+1)+\frac{1}{n+1}$

D'après tes informations, si la propriété que tu indiques "ln(n+1)-ln(n)<= 1/n" est applicable pour tout n , tu peux écrire : $ln(n+2)-ln(n+1)\le \frac{1}{n+1}$
donc , en transposant, $ln(n+1)+\frac{1}{n+1}\ge ln(n+2)$

D'où, $U_{n+2}\ge ln(n+1)+\frac{1}{n+1}\ge ln(n+2)$

Par transitivité de la relation $\ge$, tu déduis :
$U_{n+2}\ge ln(n+2)$

CQFD.

Conséquence non demandée.
J'imagine que le but est de prouver que ($U_n$) est divergente.
Vu que pour tout n de $N^{\ast }$ : $U_n\ge ln(n+1)$

$\underset{n\to +\infty }{\lim }ln(n+1)=+\infty$ donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{U}_n=+\infty$