SVP j ai besoin dans un exercice d analyse
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Mariem jabloun dernière édition par
Bonjour
Un =∫dt/(1+t+t^n) ,0<=t<=1
montrer que ln2-Un=∫(t^n)/((1+t)*(1+t+t^n)dt ,0<=t<=1
en deduire que Un<=1/(1+n)
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BBlack-Jack dernière édition par Black-Jack
@Mariem-jabloun a dit dans SVP j ai besoin dans un exercice d analyse :
Bonjour
Un =∫dt/(1+t+t^n) ,0<=t<=1
montrer que ln2-Un=∫(t^n)/((1+t)*(1+t+t^n)dt ,0<=t<=1
en deduire que Un<=1/(1+n)Bonjour,
∫01dt1+t=[ln∣1+t∣]01\int_0^1 \frac{dt}{1+t} = [ln|1+t|]_0^1∫011+tdt=[ln∣1+t∣]01
∫01dt1+t=ln(2)\int_0^1 \frac{dt}{1+t} = ln(2)∫011+tdt=ln(2)ln(2)−Un=∫01dt1+t−∫01dt1+t+tnln(2) - U_n = \int_0^1 \frac{dt}{1+t} - \int_0^1 \frac{dt}{1+t+t^n}ln(2)−Un=∫011+tdt−∫011+t+tndt
ln(2)−Un=∫01(11+t−11+t+tn)dtln(2) - U_n = \int_0^1 (\frac{1}{1+t} - \frac{1}{1+t+t^n}) dtln(2)−Un=∫01(1+t1−1+t+tn1)dt
ln(2)−Un=∫011+t+tn−1−t(1+t)(1+t+tn)dtln(2) - U_n = \int_0^1 \frac{1+t+t^n-1-t}{(1+t)(1+t+t^n)} dtln(2)−Un=∫01(1+t)(1+t+tn)1+t+tn−1−tdt
ln(2)−Un=∫01tn(1+t)(1+t+tn)dtln(2) - U_n = \int_0^1 \frac{t^n}{(1+t)(1+t+t^n)} dtln(2)−Un=∫01(1+t)(1+t+tn)tndt
...
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BBlack-Jack dernière édition par Black-Jack
Complément à ma réponse :
Pour la fin de l'exercice ... erreur d'énoncé :
Exemple :
U1 = ∫(de0à1) dt/(1+t+t^1) = (1/2)*ln|1+2t| = 1/2 * (ln(3)) = 0,5493...
et 1/(1+n) = 1/2 (pour n = 1)Et on n'a évidemment pas Un <= 1/(1+n)pour n = 1
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mtschoon dernière édition par mtschoon
Bonsoir,
Oui, très bizarre cette conclusion...
Eventuellement , j'aurais pensé à Un≤ln2U_n\le ln2Un≤ln2
Puis, (Un)(U_n)(Un) croissante et majorée donc convergente.
? ? ?
