ÉQUATION A DEUX INCONNUS

Bonjour, une question de mon dm me pose problème
La voici :
a/ Justifier brièvement pourquoi φ et ψ vérifient φ^2=φ +1 et ψ^2=ψ +1 .
( Indication : Soit par calculs, soit en revenant à leur définition vue au 1).)

b/ On déduit immédiatement du a/ que, pour tout n∈ℕ , φ n+2=φn+1+φn
et ψ n+ 2=ψ n+1+ψn
On considère alors la suite (un) définie, pour tout entier naturel n, par un=a φn+b ψn
Montrer que pour tout n∈ℕ , un+ 2=un+1+un

c/ Déterminer a et b de sorte que u1=1 et u2=1

J ai réussi la a) et je pense avoir aussi réussi la b) : j'ai déduis de l'énoncé que
un+2 = a φn+2 +b ψn+2
un+2 =a φn+1 + a φn + b ψn+1 +b ψn
un+2 =un+1 + un et
un = a φn+b ψn et un+1 = a φn+1 +b ψn+1
DONC un+2 = un+1 + un
a φn+1 + a φn + b ψn+1 +b ψn = a φn+1 +b ψn+1 + a φn+b ψn

Le truc c est que pour la c) je n'arrive pas à trouver φn+1 et ψn+1 vu qu'il n'y a pas de n dans a formule de la suite. En plus j'en ai besoin pour les questions suivantes.

Bonjour,

Ecriture par claire du tout.
On se demande si certains chiffres sont des exposants ou des indices ou ni l'un ni l'autre ...

Sous réserve de bonne interprétation :

$φn+2=φn+1+φn\varphi^{n+2} = \varphi^{n+1} + \varphi^n$

$un=a.φn+b.ψnu_n = a.\varphi^n + b.\psi^n$
$u1=a.φ+b.ψ=1u_1 = a.\varphi+ b.\psi = 1$
$u1=a.1+52+b.1−52=1u_1 = a.\frac{1+\sqrt{5}}{2}+ b.\frac{1-\sqrt{5}}{2}= 1$ (1)

$u2=a.φ2+b.ψ2=1u_2 = a.\varphi^2 + b.\psi^2 = 1$
$u2=a.(1+φ)+b.(1+ψ)=1u_2 = a.(1+\varphi) + b.(1+\psi) = 1$
$u2=a+b+a.φ+b.ψ=1u_2 = a+b + a.\varphi+ b.\psi = 1$
$u_2 = a+b + u_1 = 1$
$u_2 = a+b + 1 = 1$
$a + b = 0$ (2)

(1) et (2) :
$a.1+52−a1−52=1a.\frac{1+\sqrt{5}}{2}- a\frac{1-\sqrt{5}}{2}= 1$

$\frac{1}{\sqrt{5}} =\frac{\sqrt{5}}{5}$
$-\frac{\sqrt{5}}{5}$

Rien relu et donc toutes erreurs incluses.

@SELDON a dit dans ÉQUATION A DEUX INCONNUS :

Ok merci pour les explications ca m'a tout débloqué, je me lance dans la suite de l'exercice et pour la clarté, je ferrais attention a bien différencier indice et puissance.