Équation différentielle

Bonjour, s'il vous plaît pouvez vous m'aider avec ça
(e^x + e^(2x))y' + (2e^x+ e^(2x))y+1=0
J'ai essayé mais je suis pas sûre de mon résultat.
Merci!!

@Kodak Bonjour,

Indique ton résultat et nous le validerons ou nous te donnerons des pistes de résolution.

Bonjour,

Une manière parmi d'autres ...

(e^x + e^(2x))y' + (2e^x+ e^(2x))y+1=0

Poser X = e^x (et donc X est toujours différent de 0)
dX = e^x dx
dx = dX/X

y' = dy/dx = X.dy/dX

L'éuation devient : (X + X²)X.dy/dX + (2X+X²).y + 1 = 0

dy/dX + y * (2X+X²)/((X + X²)X) + 1/((X + X²)X) = 0 puisque X est différent de 0)
dy/dX + y * (2+X)/(X + X²) = - 1/((X + X²)X)

Solutions de dy/dx + y * (2+X)/(X + X²) = 0

dy/dx = -y * (2+X)/(X + X²)
dy/y = - dx * (2+X)/(X + X²)

(2+X)/(X + X²) = (2+X)/(X(X+1)) = A/X + B/(X+1) et par manière habituelle, on montre que A = -2 et B = 1

dy/y = (-2/X + 1/(X+1))dX
ln|ky| = ln|(X+1)/X²|
y = C*(X+1)/X²

Solution particulière de dy/dX + y * (2X+X²)/((X + X²)X) + 1/((X + X²)X) = 0
Par variation de la constante: y = f*(X+1)/X² (avec f une fonction de X)

dy/dX = f'(X+1)/X² - f(2+X)/X³
L'équation devient : f'(X+1)/X² - f(2+X)/X³ + f*(X+1)/X² * (2X+X²)/((X + X²)X) = -1/((X + X²)X)
Après simplification ... :
f'(X+1)/X² = -1/((X + X²)X)
f'(X+1)/X² = -1/((1 + X)X²)
f' = -1/(1+X)²
Et donc f = 1/(1+X)
Une solution particulière de dy/dX + y * (2X+X²)/((X + X²)X) + 1/((X + X²)X) = 0 est donc y = 1/(1+X) * (X+1)/X²
soit y = 1/X²

Solutions générales de (X + X²)X.dy/dX + (2X+X²).y + 1 = 0 :
y = 1/X² + C*(X+1)/X²
y = (1 + C*(X+1))/X²

Et avec X = e^x, les solutions générales de (e^x + e^(2x))y' + (2e^x+ e^(2x))y+1=0 sont :

y = (1 + C*(1 + e^x)) / e^(2x) ou si on préfère :

$y = e^{-2x} * (1 + C*(1 + e^x))$

Avec C = constante

Rien relu.

On peut aussi se passer du changement de variables initial (X = e^x) et procéder presque de la même manière ...

Tu peux essayer à titre d'exercice.

Oups, pas vu le message de Noemi avant d'envoyer le mien.

De toutes manières, valider un résultat est facile, il suffit de le dériver et remettre y' et y dans l'équation de départ pour voir si c'est OK.

@Noemi
Bonjour
J ai trouver,xe^-2x+e^-x+a(e^-x(1+e^x)
J ai essayé par variations de la constante

@Black-Jack
Bonjour, merci, je vais réessayer

@Kodak

La résolution de l'équation homogène associée donne pour résultat sauf erreur de calcul :
$y= ae^{-x}(1+e^{-x})$
Une solution particulière de l'équation $y = -e^{-x}$
La solution générale :
$y= e^{-x}(a+ae^{-x}-1)$

Bonjour,

Je pense que si les solutions générales sont : y = e^-x * (a + a*e^-x - 1), il y a un soucis ...

y' = ...

Et cela donne au final (sauf erreur de la part) : (e^x + e^(2x))y' + (2e^x+ e^(2x))y+1 = - a (et pas 0)

Si j'entre l'équation différentielle de départ dans mon singe ... il me donne les solutions (sans la démarche) et voila ce que cela donne :

Sans titre.jpg

Solutions finales conformes à ma réponse.

@Noemi
Merci beaucoup, je vais réessayer

Rebonjour,

Je ne suis pas d'accord avec la solution particulière donnée par Noemi.

Une solution particulière correcte est y = e^(-2x)

Et cette fois, en l'associant aux solutions de l'équation homogène y = a*e^-x * (1 + e^-x)

On trouve les solutions générales : y = e^(-2x) + a*e^-x * (1 + e^-x)

Qui peuvent s'écrire aussi : y = e^(-2x) * (1 + a (1 + e^x))

Et on retrouve les solutions que j'ai proposées dans ma réponse initiale.

Bonjour,

Seulement une réflexion relative aux résultas relatifs à cette équation différentielle.
Il y a deux résultats qui semblent différents mais qui, malgré les apparences, sont totalement identiques.

ANALYSE de ces résultats.

Première réponse $y_1=e^{-2x}[1+C(1+e^x)]$
avec $C$ constante réelle.

En développant : $y1=e−2x(Cex+C+1)\boxed{y_1=e^{-2x}(Ce^x+C+1)}$

Deuxième réponse $y_2= ae^{-2x}(e^x+1)+f(x)$
avec $a$ constante réelle.
$f (x)$ étant une solution particulière quelconque de l'équation générale .

En développant : $y2=e−2x(aex+a)+f(x)\boxed{y_2=e^{-2x}(ae^x+a)+f(x)}$

Le théorème utilisé est valable sans exception quelle que que soit la solution particulière utilisée.

Il n'y a pas de solution particulière meilleure qu'une autre.

Suivant la valeur de $f (x)$ utilisée, c'est la constante qui change.

Deux solutions particulières $f (x)$ ont été trouvées.

1er cas : $f(x)=e^{-2x}$
d'où $y2=e2x(aex+a+1)\boxed{y_2= e^{2x}(ae^x+a+1)}$
Dans ce cas, les constantes $C$ et $a$ sont les mêmes et bien sûr $y_1=y_2$

2ème cas : $y=-e^{-x}$
d'où $y_2=e^{-2x}(ae^x+a)-e^{-x}$

$e^{-x}$ peut s'écrire $e^{-2x}e^{x}$ , d'où:
$y_2=e^{-2x}(ae^x+a)-e^{-2x}e^x$
$y_2=e^{-2x}(ae^x+a-e^x)$
$y2=e−2x[ex(a−1)+a]\boxed{y_2=e^{-2x}[e^x(a-1)+a]}$

Soit $C = a - 1$ , c'est à dire $a = C + 1$
$y2=e−2x(Cex+C+1]\boxed{y_2=e^{-2x}(Ce^x+C+1]}$

Bien sûr, $y_1=y_2$

CQFD.

Bonne journée.

@mtschoon a dit dans Équation différentielle :

Deux solutions particulières $f (x)$ ont été trouvées.

1er cas : $f(x)=e^{-2x}$
d'où $y2=e2x(aex+a+1)\boxed{y_2= e^{2x}(ae^x+a+1)}$
Dans ce cas, les constantes $C$ et $a$ sont les mêmes et bien sûr $y_1=y_2$

2ème cas : $y=-e^{-x}$
d'où $y_2=e^{-2x}(ae^x+a)-e^{-x}$

$e^{-x}$ peut s'écrire $e^{-2x}e^{x}$ , d'où:
$y_2=e^{-2x}(ae^x+a)-e^{-2x}e^x$
$y_2=e^{-2x}(ae^x+a-e^x)$
$y2=e−2x[ex(a−1)+a]\boxed{y_2=e^{-2x}[e^x(a-1)+a]}$

Soit $C = a - 1$ , c'est à dire $a = C + 1$
$y2=e−2x(Cex+C+1]\boxed{y_2=e^{-2x}(Ce^x+C+1]}$

Bien sûr, $y_1=y_2$

CQFD.

Bonne journée.

Bonjour,

Oui, erreur de calcul dans vérification ...

y = e^-x * (a + a*e^-x - 1)

y' = -e^-x * (a + ae^-x - 1) + e^-x * (-a * e^-x)
y' = -e^-x * (a + 2ae^-x - 1)

Et remis dans : (e^x + e^(2x))y' + (2e^x+ e^(2x))y + 1=0 -->

(e^x + e^(2x)) * e^-x * (a + 2ae^-x - 1) + (2e^x+ e^(2x)) * e^-x * (a + ae^-x - 1) + 1 = 0
(1 + e^(x)) * (a + 2ae^-x - 1) + (2+ e^x) * (a + ae^-x - 1) + 1 = 0
a - 2ae^-x + 1 - a.e^x - 2a + e^x + 2a + 2ae^-x - 2 + 1 + a.e^x + a - e^x = 0

0 = 0

@Black-Jack a dit dans Équation différentielle :

Bonjour,

Oui, erreur de calcul dans vérification ...

y = e^-x * (a + a*e^-x - 1)

y' = -e^-x * (a + ae^-x - 1) + e^-x * (-a * e^-x)
y' = -e^-x * (a + 2ae^-x - 1)

Et remis dans : (e^x + e^(2x))y' + (2e^x+ e^(2x))y + 1=0 -->

(e^x + e^(2x)) * e^-x * (a + 2ae^-x - 1) + (2e^x+ e^(2x)) * e^-x * (a + ae^-x - 1) + 1 = 0

(1 + e^(x)) * (a + 2ae^-x - 1) + (2+ e^x) * (a + ae^-x - 1) + 1 = 0

a - 2ae^-x + 1 - a.e^x - 2a + e^x + 2a + 2ae^-x - 2 + 1 + a.e^x + a - e^x = 0

0 = 0

Re-bonjour,

Oui @Black-Jack , tu as bien fait de revoir ton erreur dans ta vérification , car cela créait une contradiction.

Maintenant tout est OK.

C'est parfait.

Bonjour,

@Kodak a effacé son énoncé après plusieurs interventions ! ! !

Comme indiqué à plusieurs endroits dans les interventions, la question est :

Résoudre l'équation différentielle
$(ex+e2x)y′+(2ex+e2x)y+1=0\boxed{(e^x+e^{2x})y'+(2e^x+e^{2x})y+1=0}$

EDIT: l'énoncé a été restauré.