Distance minimale avec la fonction ln

[Mimi25000]

Bonjour, voici l'exo sur lequel je bloque :
Soit E(e;0). Existe -t-il un point M de la courbe d'équation y=ln(x) tel que la distance EM soit minimale ?
Si oui préciser son abscisse.

J'ai calculé la distance EM=racine((x-e)^2+(lnx)^2) et je pensais faire la dérivée pour trouver le minimum mais je n'aboutis pas.
J'ai donc calculé ma dérivée est obtenu 2(x-e) + 2lnx/x et là je ne sais pas comment étudier son signe. Impossibe de factoriser. Je sais que x est positif.
Pourriez-vous m'aiguiller svp ?
Merci pour votre aide

[mtschoon]

@Mimi25000 , bonjour

Piste,

Tu travailles sur $]0,+\infty [$

EM minimale <=> EM² minimale

Soit $f(x)=E{M}^2=(x-e{)}^2+(lnx{)}^2$

$f^{\prime }(x)=2(x-e)+2\frac{lnx}{x}$

$f^{\prime }(x)=\frac{2}{x}(x^2-ex+lnx)$

Soit $g(x)=x^2-ex+lnx$

$g^{\prime }(x)=2x-e+\frac{1}{x}=\frac{2x^2-ex+1}{x}$

$2x^2-ex+1$ est un polynôme du second degré.

Discriminant négatif, donc $g^{\prime }(x)>0$ donc g croissante

Avec le TVI, tu trouves le signe de g , donc le signe de f' donc le sens de variation de f (donc son minimum).

[Mimi25000]

Bonjour
Un énorme merci mais j'ai à nouveau un problème car g est croissante et la limite en O est -l'infini et en + l'infini je trouve plus l'infini et là souci je ne trouve pas g(x)=0 pour compléter le tableau...

[mtschoon]

@Mimi25000 ,

g est strictement croissante de $-\infty$ à $+\infty$.

Comme je t'ai indiqué, tu utilises le Théorème des valeurs intermédiaires.
Il existe une valeur $\alpha$ unique telle que $g(\alpha )=0$
Tu en déduis le signe de $g(x)$.

[Mimi25000]

@mtschoon
oui mais comment déterminer alpha ? j'en ai besoin pour trouver à partir de quand g est positive

[mtschoon]

@Mimi25000
Tu ne peux trouver qu'une valeur approchée de $\alpha$ à la calculette.

Sauf erreur, $\alpha \approx 2.35$

[mtschoon]

@Mimi25000 ,remarque,

Dans tes raisonnements, utilise la notation $\alpha$ qui est la valeur exacte , vu que 2.35 n'est q'une valeur approchée.

Tu dois trouver, au final, que la distance EM est minimale au point M d'abscisse $\alpha$.