Calculer l’aire d’un rectangle

Bonjour, ma professeur nous a donné un dm et j’ai beau avoir essayé de le résoudre je n’ai pas réussi voici le problème : Déterminer la largeur d’un rectangle dont l’aire est 180mm2 et sa longueur mesure le double de sa largeur.
Sachant que les racines et compagnies ne sont pas acceptés et qu’il me faut 180 pil poil.
Merci

@TricTrac Bonjour,

Difficile de ne pas utiliser une racine.
Aire : $L×l=2l×l=2l2L\times l= 2l\times l =2l^2$
Soit à résoudre $2l^2=180$
d'ou $l = . . .$

@Noemi
Bonjour,
Je pense donc vu votre réponse, qu’il n’est pas possible de trouver la largeur de ce rectangle sans racines etc…
Je pense alors donner une réponse selon laquelle il n’est pas possible de trouver son résultat sans racines, peut-être veut-elle nous montrer que ce n’est pas possible ?
Merci de votre aide

@TricTrac

Ecris le résultat avec une racine puis tu conclus.

Bonjour,

@TricTrac , comme te l'indique Noemi, $l^2=90$ donc, $l=90l=\sqrt 90$ que l'on peut écrire : $l=310l=3\sqrt 10$
$3103\sqrt 10$ est la valeur exacte, irrationnelle, de $l$

Evidemment, tout dépend comment est formulé l'énoncé.

S'il s'agit de chercher un valeur rationnelle de $l$ solution, tu peux terminer différemment.

$l^2=90$
Un rationnel est le quotient de deux entiers (que tu peux supposer positifs, vu que tu cherches $l$ positif)

Soit $l=pql=\dfrac{p}{q}$ ave $p∈Np\in N$ et $q∈N∗q\in N^*$

$p2q2=90\dfrac{p^2}{q^2}=90$ <=> $l2=90q2\boxed{l^2=90q^2}$

Pour que cette dernière égalité soit possible, 90 devrait être le carré d'un entier n, pour que $l^2=n^2q^2=(nq)^2$

Or, $92<90<1029^2\lt 90\lt 10^2$

Il n'existe pas d'entier n compris strictement entre 9 et 10

donc $92<n2<1029^2\lt n^2\lt 10^2$ est impossible.

Donc, il est impossible que la solution $l$ cherchée soit rationnelle.

A toi de voir @TricTrac ce que l'énoncé veut...

@mtschoon
Oui merci !
Je vais réfléchir à qu’est ce que je vais donner comme réponse

A toi de voir @TricTrac , car la question n'est pas claire.

Eventuellement, tu donnes les deux versions...

Il n'y a pas de contradiction :

Si l'on travaille sur l'ensemble $R$ des nombres réels, il y a une solution qui est le nombre irrationnel $3103\sqrt{10}$

Si l'on travaille sur l'ensemble Q des nombres rationnels, il n'y a pas de solution.