Nombres premiers math expert

Bonjour, je m'entraine pour un Ds et voilà un exo qui me pose souci pour une démonstration rigoureuse : Quels sont les entiers naturels ayant 3 diviseurs positifs ?
Merci pour votre aide.

@Mimi25000 , bonjour,

Tu peux peut-être commencer par faire une conjecture, et utilisant les premiers naturels non nuls

Tu dois trouver :
4 dont les 3 diviseurs sont 1,2,4
9 dont les 3 diviseurs sont 1,3,9
25 dont les 3 diviseurs sont 1,5,25

Ainsi les entiers naturels ayant 3 diviseurs positifs semblent être les carrés d'un nombre premier.

Après , tu essaies une démonstration rigoureuse.

Soit n un naturel (n>1)
$n$ se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers de la forme :
$n=aα.bβ.cγ....n=a^\alpha.b^\beta.c^\gamma....$
Tu dois savoir (voir cours) que le nombre de diviseurs positifs de $n$ est
$(α+1)(β+1)(γ+1)...(\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)...$

Réfléchis aux valeurs qu'il faut donner à $α,β,γ,...\alpha,\beta,\gamma,...$ pour que $n$ ait 3 diviseurs positifs.

@Mimi25000 Bonjour,

Soit $p$ un nombre premier, 1 et $p$ sont ses diviseurs et $p^2$ a pour diviseurs 1, $p$ et $p^2$ .
Si $p$ n'est pas un nombre premier, ni ....
Je te laisse conclure.

@mtschoon merci bcp j'ai compris.

@Mimi25000 , de rien.
C'est très bien d'avoir abouti à une demonstration rigoureuse.
A+

@Noemi merci