Equation complexe de degrés 4


  • N

    Bonjour,
    Cela fait un bout de temps que cherche la réponse a une équation donné lors d'un concours mais je ne trouve pas la méthode de résolution l'équation est z^4=1+i.
    D'après la correction la solution est
    plus ou moins racine 8ieme de 2 * e^(7ipi/16)
    et plus ou moinss racine 8ieme de 2 * e^(-ipi/16)
    Cela m aiderai beaucoup qu elle a été la méthode pour obtenir ce résultat


  • N
    Modérateurs

    @nathan0202 Bonjour,

    Quelle est l'écriture exponentielle de 1+i1+i1+i ?
    Puis tu prends la racine quatrième.


  • mtschoon

    Bonjour,

    @nathan0202 , tu cherches donc les racines 4ème de 1+i1+i1+i.

    Si dans ton cours tu as fait l'étude des racines nièmes d'un nombre complexe non nul , tu appliques directement le théorème avec n=4n=4n=4

    Je te joins une vidéo qui l'explique et qui l'applique à un exemple.

    https://www.youtube.com/watch?v=Ztr0zbn-LHw


  • B

    Bonjour,

    Si ce qui te gène est de trouver des solutions différentes de l'énoncé ... tu peux être rassuré.

    Le corrigé est faux.

    Le corrigé donne les solutions de z^4 = 1 - i et pas de ce que l'énoncé annonce.


  • mtschoon

    @nathan0202 , si tu n'a pas le théorème dans ton cours, tu peux faire tous les calculs
    C'est plus long évidemment, mais c'est assez simple.

    Je t'indique la démarche.

    Tu mets 1+i1+i1+i sous forme exponentielle : 1+i=2eiπ41+i=\sqrt 2 e^{i\dfrac{\pi}{4}}1+i=2ei4π

    Soit z=reiθz=re^{i\theta}z=reiθ
    z4=1+iz^4=1+iz4=1+i <=>(reiθ)4=2eiπ4(re^{i\theta})^4=\sqrt 2 e^{i\dfrac{\pi}{4}}(reiθ)4=2ei4π
    c'est à dire ; r4e4iθ=2eiπ4r^4e^{4i\theta}=\sqrt 2 e^{i\dfrac{\pi}{4}}r4e4iθ=2ei4π

    Egalité des modules : r4=2r^4=\sqrt 2r4=2 <=> r=(2)14r=(\sqrt 2)^{\dfrac{1}{4}}r=(2)41
    Tu peux l'écrire avec des exposants ou de radicaux (c'est pareil)

    r=(212)14=218r=\biggr (2^{\dfrac{1}{2}}\biggr)^{\dfrac{1}{4}}=2^{\dfrac{1}{8}}r=(221)41=281
    Tu peux aussi écrire r=224=28r=\sqrt[4]{\sqrt[2] 2}=\sqrt[8] 2r=422=82

    A la calculette r≈1.0905r\approx 1.0905r1.0905

    Egalité des arguments : 4θ=π4+2kπ4\theta=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi4θ=4π+2kπ avec k∈Zk\in ZkZ

    En divisant par 4 : θ=π16+2kπ4\theta =\dfrac{\pi}{16}+\dfrac{2k\pi}{4}θ=16π+42kπ avec k∈Zk\in ZkZ

    Conclusion : z=28 ei(π16+2kπ4)\boxed{z=\sqrt[8] 2 \ e^{i(\dfrac{\pi}{16}+\dfrac{2k\pi}{4})}}z=82 ei(16π+42kπ)

    On obtient tous les arguments-solutions en donnant à kkk quatre valeurs entières consécutives.
    Par tradition, on prend k=0,1,2,3k=0,1,2,3k=0,1,2,3 mais on peut l'exprimer différemment.

    Dans le plan complexe, les images des solutions forment un polygone régulier , ici un carré.


  • mtschoon

    @nathan0202 ,
    Je te mets la représentation graphique des solutions dans le plan complexe
    racine4.jpg :

    Les points A,B,C D sont les images des solutions respectivement pour k=0,1,2,3k=0,1,2,3k=0,1,2,3.

    Tu as écrit

    D'après la correction la solution est
    plus ou moins racine 8ieme de 2 * e^(7ipi/16)
    et plus ou moins racine 8ieme de 2 * e^(-ipi/16)

    Je te fais la correspondance avec ta correction :

    A et C (pour k=0 et k=2) ne correspondent pas à la seconde ligne de ta réponse
    Il aurait fallu écrire "plus ou moins racine 8ieme de 2 * e^(pi/16)",

    C et D ( pour k=1 et k=3) ne correspondent pas à la première ligne de ta réponse
    Il aurait fallu écrire "plus ou moins racine 8ieme de 2 * e^(-7ipi/16)",

    Ou bien tu as fait une faute en écrivant l'énoncé/ou réponses, ou bien il y a une faute dans ce qui t'est donné (regarde la proposition de @Black-Jack )

    VERIFIE.


  • B

    Bonjour,

    Oui il aurait fallu écrire "plus ou moins racine 8ieme de 2 * e^(-7i.pi/16)"

    Mais il aurait aussi fallu écrire "et plus ou moins racine 8ieme de 2 * e^(i.pi/16)"

    Aucune des 4 solutions du corrigés ne correspond aux solutions de z^4 = 1 + i, elles correspondent toutes aux solutions de z^4 = 1 - i


  • mtschoon

    Bonjour,

    Tout à fait, Black Jack.

    @nathan0202 vérifiera si c'est une faute de frappe de sa part ou si c'est une faute de son énoncé .

    J'espère qu'avec la vidéo et les explications, il aura compris la méthode.


  • N

    @mtschoon Oui désolé c'est de ma faute excuser moi l'énonce dit bien z^4=1-i


  • N

    @mtschoon Merci beaucoup pour l'explication détailler.


  • mtschoon

    De rien @nathan0202 ,

    Si tu as bien compris la méthode, tu peux maintenant traiter le cas de 1−i1-i1i
    1−i=2 e−iπ41-i=\sqrt 2\ e^{-i\dfrac{\pi}{4}}1i=2 ei4π
    Tu dois trouver que les racines 4ème de (1-i) s'écrivent :
    z=28 ei(−π16+2kπ4)\boxed{z=\sqrt[8]2\ e^{i(\dfrac{-\pi}{16}+\dfrac{2k\pi}{4})}}z=82 ei(16π+42kπ) pour k∈Zk\in ZkZ

    Tu peux bien sûr écrire : z=28 ei(−π16+kπ2)\boxed{z=\sqrt[8]2\ e^{i(\dfrac{-\pi}{16}+\dfrac{k\pi}{2})}}z=82 ei(16π+2kπ) pour k∈Zk\in ZkZ

    Ces racines ont pour images les points E,F,G,H du schéma ci dessous
    racine44.jpg

    Bons calculs.


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