bonjour . j'ai besoin d'aide pour ce sujet.

soit a appartient à R tel que -e < a < 0 . on pose j(a) = integrale allant de a à 0 de f(x) dx.

on désigne par I_n(a) l'intégrale allant de a à 0 de ( x+e )[ln(x+e)]^n dx. A l'aide d'une intégration par parties, exprimer I_n(a) en fonction de I_n-1 (a) pour tout n appartenant à N*.

Pour l'intégration pour partie, pose :
$u(x)= [ln(x+e)]^n$ et $v^{'} (x) = x + e$
Calcule
$u^{'} (x) = . . . .$ et $v (x) = . . . .$

oui je l'ai déja fait et j'ai trouvé u'(x) = n * [ln(x+e)^n-1]*[ 1/ (x+e)].
v(x) = (1/2 )*x^2 + ex . et donc j'ai trouvé alors :
$∫a0\displaystyle\int_{a}^{0}$ (x+e[ln(x+e)]^n dx = [ [ln(x+e)]^n * (1/2)x^2 + ex ] - $∫a0\displaystyle\int_{a}^{0}$ n * [(ln(x+e)^n-1] *[ 1/(x+e)] * [(1/2)x^2 +ex ]
ainsi donc il restera a simplifier [(1/2)x^2 + ex ] par (x +e ) pour trouver I_n-1 (a) mais hélas ca ne marche pas

@gedeon_alognon

Prends pour $v (x)$ , $v(x)=(x+e)22v(x)=\dfrac{(x+e)^2}{2}$

ouiii ca marche merci beaucoup. svp expliquez moi coment vous avez procédez.

@gedeon_alognon j'avais procédé comme ceci :
v'(x) =x +e \implies v(x) = $∫\displaystyle\int_{}^{}$ x+e
v(x) = $∫\displaystyle\int_{}^{}$ x + $∫\displaystyle\int_{}^{}$ e
v(x) = (1/2 ) * x ^2 + ex . cette méthode est-elle mal appliqué?

@gedeon_alognon

Juste faire le lien avec le fait qu'une primitive de $x$ est $x22\dfrac{x^2}{2}$ .

Ton calcul est juste mais ne permet pas de déterminer la relation demandée.

d'accord j'ai compris. merci beaucoup pour votre aide .

Bonjour quand même ...

I(n) = S(de a à 0) (x+e)[ln(x+e)]^n dx

I(n-1) = S(de a à 0) (x+e)[ln(x+e)]^(n-1) dx

Poser (x+e)² = u --> 2(x+e)dx = du
et poser 1/(x+e).[ln(x+e)]^(n-1) dx = dv --> v = (1/n) * (ln(x+e))^n

S(de a à 0) (x+e)[ln(x+e)]^(n-1) dx = [(1/n)(x+e)² * ((ln(x+e))^n)](de a à 0) - 2/n * S(de a à 0) (x+e)(ln(x+e))^n dx

I(n-1) = [(1/n)*(x+e)² * ((ln(x+e))^n)](de a à 0) - 2/n * I(n)

I(n-1) = [e²/n - (a+e)²/n * (ln(a+e))^n] - 2/n * I(n)

2/n * I(n) = e²/n - (a+e)²/n * (ln(a+e))^n - I(n-1)

I(n) = (n/2) * [e²/n - (a+e)²/n * (ln(a+e))^n - I(n-1)]

I(n) = (1/2) * [e² - (a+e)².(ln(a+e))^n - n.I(n-1)]