3. Variations de fonction N2

Variations de fonction N2

  • M

    Bonjour, j'ai besoin d'aide pour un exercice svp

    1. Soit aaa et bbb avec 000<aaa</=bbb^

    a) Montrer que 1a\dfrac{1}{a}a1​−-−1b\dfrac{1}{b}b1​===b−aab\dfrac{b-a}{ab}abb−a​

    b) Quel est le signe de b−ab-ab−a ?

    c) Quel est le signe de ababab?

    d) En déduire le sens de variation de la fonction inverse sur R∗+R*+R∗+

    1. Soit aaa et bbb avec aaa </= bbb <000.
      a)Quel est le signe de b-a?
      b) Quel est le signe de ab ?
      c)En déduire le sens de variation de la fonction inverse sur R∗−R*-R∗−

    Mon travail: (je n'ai pas fait grand chose, j'y arrivais pas)

    a) J'ai essayé de le démontrer en utilisant des chiffres précis mais je crois que c'est pas le but, je sais pas comment démontrer autrement
    12\dfrac{1}{2}21​−-−15\dfrac{1}{5}51​=5−2=35∗2=10\dfrac{5-2=3}{5*2=10}5∗2=105−2=3​

    b) b−ab-ab−a est positif car aaa<bbb (j'ai fais plusieurs tests avec des valeurs précises) je ne sais pas du tout comment l'expliquer, comment je dois faire ?

    Pour le reste, j'y ai pas encore réfléchi.

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @math58004 Bonjour,

    a) Réduire l'expression au même dénominateur
    1a−1b=bab−aab=....\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b}{ab}-\dfrac{a}{ab}=....a1​−b1​=abb​−aba​=....

    b) bbb et aaa sont des nombres strictement positifs et a≤ba\le ba≤b
    donc b−a....b-a ....b−a....

    c) et ab...ab...ab...

    d) Utilise les résultats des questions précédentes pour comparer
    1a\dfrac{1}{a}a1​ et 1b\dfrac{1}{b}b1​

    M 1 réponse
  • M

    Bonjour, merci de votre aide
    J'ai donc fais ca :

    1. b) b et a sont des nombres strictement positifs et a≤ba \leq ba≤b donc b−ab-ab−a est positif.

    c) ababab est positif car le produit de deux nombres positifs est positif. (a et b positifs)

    d) La fonction inverse est décroissante sur R*+
    a<ba \lt ba<b alors f(a)<f(b)f(a) \lt f(b)f(a)<f(b)

    1. Soit a≤b<0a \leq b \lt0a≤b<0
      a) aaa et bbb sont strictement négatifs.
      b−ab-ab−a est donc positif. (car A≤BA \leq BA≤B)

    a et b sont négatifs. Le produit de deux nombres négatifs est positif donc ababab est positif.

    c) La fonction inverse est décroissante sur R*-.
    (Je ne sais pas comment l'expliquer)

    Est-ce juste?

    N 1 réponse
  • mtschoon

    @math58004 , bonjour,

    Je regarde tes réponses à la partie 1) c'est à dire le cas où 0<a≤b0\lt a\le b0<a≤b

    1)b) Oui, b−a≥0b-a \ge 0b−a≥0

    1)c) Oui mais précise ab>0ab\gt 0ab>0

    1)d) f est bien décroissante sur R+∗R+*R+∗ mais ta justification est mauvaise.

    f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x}f(x)=x1​

    Vu que b−ab-ab−a est positif et que ababab est strictement positif, le quotient b−aab\dfrac{b-a}{ab}abb−a​ est positif
    ce quotient vaut 1a−1b\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}a1​−b1​, c'est à dire
    1a−1b≥0\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\ge 0a1​−b1​≥0

    Or, f(a)=1af(a)=\dfrac{1}{a} f(a)=a1​ et f(b)=1bf(b)=\dfrac{1}{b}f(b)=b1​ donc :

    f(a)−f(b)≥0f(a)-f(b) \ge 0f(a)−f(b)≥0 donc f(a)≥f(b)f(a)\ge f(b)f(a)≥f(b)

    Conclusion : a≤b\boxed{a\le b }a≤b​ => f(a)≥f(b)\boxed{f(a)\ge f(b)}f(a)≥f(b)​

    Ainsi, tu peux conclure que f est décroissante sur R+∗R+*R+∗

  • mtschoon

    @math58004 ,

    La logique de la partie 2) est la même que celle de la partie 1)

  • N
    Modérateurs

    @math58004

    Pour démontrer la décroissance, il faut utiliser la définition du cours.
    Question 1,
    a≤b<0a\leq b \lt0a≤b<0,
    A partir des résultats aux questions a) et b) tu déduis :
    1a−1b≥0\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} \geq0a1​−b1​≥0, soit 1a≥1b\dfrac{1}{a} \geq \dfrac{1}{b}a1​≥b1​, donc
    f(a)≥f(b)f(a) \geq f(b)f(a)≥f(b) donc la fonction est décroissante.

    Applique le même raisonnement pour la question 2.

  • mtschoon

    @math58004 , si tu veux consulter les définitions précises relatives au sens de variation d'une fonction (car c'est cela qui semblait te gêner dans cet exercice), tu peux regarder ici :

    https://homeomath2.imingo.net/variation.htm

  • M

    Merci beaucoup ça m’a beaucoup aidé

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