Integration par parties

[kadforu]

Bonjour,
I=somme(x*exp(x)/(1+(exp(x))² sur [0;1]
J=somme(1/(1+exp(x)) sur [0;1]
Par intégration par parties, déterminer I en fonction de J
Déterminer J

Réponse:
Je pose x=V et exp(x)/((1+exp(x))²=U'
Donc I=-[x1/(exp(x)+1) sur [0;1] +somme(1/(1+exp(x)) sur [0;1]
I=-[x1/(exp(x)+1) sur [0;1]+ J
J=I+1/(e+1).

Je ne sais si c'est juste et c'est fini, car le I est à déterminer ou non ?
Merci d'avance.

[Black-Jack]

Bonjour,

Jusque là c'est bien ... mais ce n'est pas fini.

I = S(de0à1) x.e^x/(1+e^x)² dx

Poser e^x/(1+e^x)² dx = dv ---> v = -1/(1+e^x)
et poser x = u --> dx = du

S(de0à1) x.e^x/(1+e^x)² dx = -x/(1+e^x) + S(de0à1) dx/(1+e^x)

S(de0à1) x.e^x/(1+e^x)² dx = -1/(1+e) + S(de0à1) dx/(1+e^x)

I = J - 1/(1+e)

---

S(de0à1) dx/(1+e^x) = S(de0à1) (1+e^x-e^x)/(1+e^x) dx

S(de0à1) dx/(1+e^x) = S(de0à1) dx - S(de0à1) e^x/(1+e^x) dx

S(de0à1) dx/(1+e^x) = x - ln(1+e^x)

J = 1 - ln(1+e) + ln(2)

---

Et même si ce n'est pas clairement demandé, je présume qu'il faut en déduire la valeur de I ...

I = J - 1/(1+e)

I = 1 - ln(1+e) + ln(2) - 1/(1+e)

I = (1+e-1)/1+e) - ln(1+e) + ln(2)

I = e/(1+e) + ln(2/(1+e))

[kadforu]

Merci pour l'astuce:
1=e^x-e^x
S(de0à1) dx/(1+e^x) = S(de0à1) (1+e^x-e^x)/(1+e^x) dx

Si non on tombe sur I-I=0

[kadforu]

J'ai écrit une bêtise (J'ai écrit une bêtise:1=e^x-e^x
1=1+e^x-e^x