Montrer qu'un nombre n'est pas premier

Bonsoir à tous.
On me demande de montrer que $N=5^{n+1}-3^{n+1}$ n'est pas premier.
J'ai voulu utiliser la formule de $a^{n}-b^{n}$ pour espérer trouver une expression très simple de $N$ mais j'avoue que je me suis bloqué dans mes calculs.

Je précise que c'est à la suite de la formule que j'ai donné plus haut qu'on m'a proposé cet exercice ( comme application je pense ). Donc je me suis dis que je devais l'utiliser.

@Wil-Fried Bonsoir,

Tu peux utiliser la relation :
$a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)(a^n+a^{n-1}b+.....)$
tu peux écrire le dernier facteur avec une somme.

@Noemi J'ai utilisé
$an−bn=(a−b)∑k=0n−1anb(n−1)−ka^{n}-b^{n}=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n}b^{(n-1)-k}$
Donc en passant à $n + 1$ on obtient :
$an+1−bn+1=(a−b)∑k=0nan+1bn−ka^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)\sum_{k=0}^{n}a^{n+1}b^{n-k}$
C'est comme cela que j'ai procédé.

@Wil-Fried

Attention, c'est :
$an+1−bn+1=(a−b)∑k=0nan−kbka^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)\sum_{k=0}^{n}a^{n-k}b^{k}$

@Noemi Pourrais-je savoir comment ça se fait ?

@Noemi Je remarque que je me suis trompé dans ma formule. Au lieu de a^k j'ai écris a^n

@Wil-Fried

$a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)(a^n+a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+ .....+b^n)$
La puissance de $a$ diminue alors que la puissance de $b$ augmente.
Dans la deuxième parenthèse, la somme des exposants est égale à n.

Tu peux vérifier avec des cas simples :
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
....

Bonjour,

@Wil-Fried , si tu souhaites des démonstrations de la factorisation de $a^n-b^n$ ( que tu as bien sûr appliqué à $a^{n+1}-b^{n+1}$ ), tu peux regarder ici :
https://www.youtube.com/watch?v=lrBemoHIC9Y

@mtschoon Quand j'utilise la formule, je retombe sur l'expression de N à la fin. Je ne comprend pas trop...

@Wil-Fried , je ne suis pas sûre de comprendre ce que tu veux dire.

Le but est de savoir si N est premier.

Avec la factorisation, tu peux écrire :

$N=(5−3)(∑k=0n5n−k3k)\displaystyle N=(5-3)\biggr(\sum_{k=0}^n 5^{n-k}3^k\biggr)$

$N=2(∑k=0n5n−k3k)\displaystyle N=2\biggr(\sum_{k=0}^n 5^{n-k}3^k\biggr)$

$N$ est divisible par $2$ donc non premier.

@mtschoon C'était si simple que ça ??? Pfff je ne l'avais pas vu!

Moi j'ai continué avec les calculs en fait, et après je me suis retrouvé avec la valeur départ de $N$

@Wil-Fried , amusant...

C'est bon signe si tu as retrouvé la valeur de départ .
Tu maîtrises donc la formule.

Tu as un peu perdu de vue le but de l'exercice, mais tu as bien travaillé.

@mtschoon Merciii encore

@Wil-Fried , de rien et bon travail.