Démonstration par récurrence
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Lloicstephan dernière édition par
bonsoir a tous j'ai un soucis
soit la suite définie par récurrence telle que Un+1=12+UnU_{n+1}=\sqrt{12+U_n}Un+1=12+Un et U0=0U_0=0U0=0
on de mande de montrer que quelque soit nnn de NNN,(4−Un+1)(4- U_{n+1})(4−Un+1) inferieur ou égal a 14(4−Un)\frac{1}{4}(4-U_n)41(4−Un)Perso j'ai essaye la récurrence et je bloque sur l'hérédité
merci de m'aider!
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@loicstephan Bonjour,
Exprime 16−Un+1216-U_{n+1}^216−Un+12 en fonction de UnU_nUn
Puis factorise 16−Un+12=(4−Un+1)(4+Un+1)16-U_{n+1}^2=(4-U_{n+1})(4+U_{n+1})16−Un+12=(4−Un+1)(4+Un+1)
et tu déduis (4−Un+1)(4-U_{n+1})(4−Un+1) ...
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mtschoon dernière édition par mtschoon
Bonjour,
@loicstephan
Fais une démonstration directe comme te l'indique @Noemi
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Lloicstephan dernière édition par
@Noemi
je ne vois pas ou on va
c'est dire que (4−Un+1)(4+Un+1)=4−Un(4-U_{n+1})(4+U_{n+1})=4-U_n(4−Un+1)(4+Un+1)=4−Un
c'est dire que (4−Un+1)=4−Un(4+Un+1)(4-U_{n+1})=\frac{4-U_n}{(4+U_{n+1})}(4−Un+1)=(4+Un+1)4−Un
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@loicstephan
Un≥0U_n \ge 0Un≥0
4+Un≥44+U_n\ge44+Un≥4
14+Un≤14\dfrac{1}{4+U_n}\le \dfrac{1}{4}4+Un1≤41
...
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Lloicstephan dernière édition par loicstephan
@loicstephan
en substituant par contre 4−Un+14-U_{n+1}4−Un+1 par 4−Un4+Un+1\frac{4-U_{n}}{4+U_{n+1}}4+Un+14−Un
j'ai 4−Un4+Un+1\frac{4-U_{n}}{4+U_{n+1}}4+Un+14−Un ≤\leq≤ 14(4−Un)\frac{1}{4}(4-U_n)41(4−Un)
et par réduction j'ai 4+Un+14+U_{n+1}4+Un+1 ≤\leq≤ 444 soit (4+Un+1)−1(4+U_{n+1})^{-1}(4+Un+1)−1 ≥\geq≥ 4−14^{-1}4−1 soit$
comment vous passez de Un+1U_{n+1}Un+1 à UnU_nUn
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Un≥0U_n \geq 0Un≥0, donc 14+Un≤14\dfrac{1}{4+U_n}\le \dfrac{1}{4}4+Un1≤41
en démontrant que 4−Un≥04-U_n\ge 04−Un≥0
On déduit
(4−Un)×14+Un≤14×(4−Un)(4-U_n)\times\dfrac{1}{4+U_n}\le \dfrac{1}{4}\times (4-U_n)(4−Un)×4+Un1≤41×(4−Un)Comme 4−Un+1=4−Un4+Un4-U_{n+1}= \dfrac{4-U_n}{4+U_n}4−Un+1=4+Un4−Un
On conclut
4−Un+1≤14(4−Un)4-U_{n+1}\le \dfrac{1}{4}(4-U_n)4−Un+1≤41(4−Un)
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Lloicstephan dernière édition par
@Noemi je ne pige rien desole
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Tu utilises les propriétés des inégalités.
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mtschoon dernière édition par mtschoon
Bonjour,
@loicstephan a dit dans Démonstration par récurrence :
je ne pige rien désole
@loicstephan , je "tente" de te détailler une explication ...
Pour obtenir toutes les conditions nécessaires aux calculs, le mieux est de commencer par prouver (une récurrence "très simple" suffit ) que pour tout nnn de NNN : 0≤Un≤4\boxed{0\le U_n\le 4}0≤Un≤4
(C'est d'ailleurs peut-être demandé dans ton énoncé)Je pense que tu as compris le début :
(4−Un+1)(4+Un+1)=16−(Un+1)2=4−Un(4-U_{n+1})(4+U_{n+1})=16-(U_{n+1})^2=4-U_n(4−Un+1)(4+Un+1)=16−(Un+1)2=4−UnVu que 4+Un+1≠04+U_{n+1}\ne 04+Un+1=0 , tu peux diviser par (4+Un+1)(4+U_{n+1})(4+Un+1)
donc 4−Un+1=4−Un4+Un+14-U_{n+1}=\dfrac{4-U_n}{4+U_{n+1}}4−Un+1=4+Un+14−UnSi tu préfères, tu peux écrire :
4−Un+1=14+Un+1×(4−Un)\boxed{4-U_{n+1}=\dfrac{1}{4+U_{n+1}}\times (4-U_{n})}4−Un+1=4+Un+11×(4−Un)Un+1≥0U_{n+1}\ge 0Un+1≥0 donc, en ajoutant 444 , on obtient 4+Un+1≥44+U_{n+1}\ge 44+Un+1≥4
En prenant l'inverse : 14+Un+1≤14\dfrac{1}{4+U_{n+1}}\le \dfrac{1}{4}4+Un+11≤41Vu que 4−Un≥04-U_n\ge 04−Un≥0, on peut multiplier les deux membres de cette dernière inégalité par (4−Un)(4-U_n)(4−Un) sans changer le sens de l'inégalité
14+Un+1×(4−Un)≤14×(4−Un)\dfrac{1}{4+U_{n+1}}\times (4-U_n)\le \dfrac{1}{4}\times (4-U_n)4+Un+11×(4−Un)≤41×(4−Un)d'où : 4−Un+1≤14(4−Un)\boxed{4-U_{n+1}\le \dfrac{1}{4}(4-U_n)}4−Un+1≤41(4−Un)
Reposte si ce n'est pas clair.
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Lloicstephan dernière édition par
bonjour merci très fluide on construit et on arrive a l'inégalité recherche je comprends maintenant
ou @Noemi voulais que j'y aille!
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mtschoon dernière édition par mtschoon
@loicstephan , bonjour,
Oui, tout à fait.
Je pense que c'est l'enchaînement qui t'avait échappé.
Si maintenant c'est clair, c'est parfait.
Bon dimanche.