Etude d'une fonction trigonométrique

![text alternatif](![url de l'image](url de l'image))Bonjour
j'ai besoin de votre aide pour résoudre cet exercice.
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 2π] par : f (x) = cos x + Cos(2x) + 1.
La courbe préconstruite ci-dessous est la représentation graphique de la fonction dérivée f 'sur l’intervalle [0 ; 2π].

a) Déterminer la fonction dérivée f ′ de la fonction f.
b) Montrer que, pour tout nombre réel x de l’intervalle [0 ; 2π] :
f ′(x) = – sin(x) [1 + 2cos(x)]. 2. Résoudre dans l’intervalle [0 ; 2π], l’équation produit : sin(x) [1 + 2cos(x)] = 0.
a) En s’appuyant sur la représentation graphique de la fonction dérivée
f ′ ci-dessus, dresser le b) Déduire des questions 2. et 3. a) le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 2π].
tableau de signes de f ′(x) sur l’intervalle [0 ; 2π].
Préciser les ordonnées des points dont l’abscisse x vérifie f ′(x) = 0 .
Tracer la courbe représentative de f sur l’intervalle [0 ; 2π] dans le repère précédent (où f ′est déjà représentée).

@Alef-Education Bonjour,

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.
La dérivée de $c o s (x)$ est $- s i n (x)$
celle de $c o s (u (x))$ est $- u^{'} (x) s i n (u (x))$

@Alef-Education c'est bizarre parce que je trouve que la dérivée est égale à :
f'(x)=-sin(x)[1+4cos(x)]

Bonjour,

@DavS a dit dans Besoin d'aide pour résoudre un exercice :

@Alef-Education c'est bizarre parce que je trouve que la dérivée est égale à :
f'(x)=-sin(x)[1+4cos(x)]

Tout à fait d'accord avec toi @Alef-Education

$f^{'} (x) = - s i n x - 2 s i n (2 x) = - s i n x - 2 (2 s i n c o s x)$
$f^{'} (x) = - s i n x - 4 s i n x c o s x = - s i n x (1 + 4 c o s x)$

Quelquechose ne va pas dans cet énoncé...

@Alef-Education ,

Je viens de chercher où pouvait être l'erreur d'énoncé.

Pour obtenir la dérivée proposée $f^{'} (x) = - s i n x (1 + 2 c o s x)$ , il faudrait que l'énoncé soit, par exemple :

$f(x)=cosx+12cos(2x)+1\boxed{f(x)=cosx+\dfrac{1}{2}cos(2x)+1}$

( bien sûr, au lieu du "1" on pourrait mettre une autre valeur réelle)

Ainsi :
$f′(x)=−sinx+12(−sin(2x))×2f'(x)=-sinx+\dfrac{1}{2}(-sin(2x))\times 2$
$f^{'} (x) = - s i n x - s i n (2 x) = - s i n x - 2 s i n x c o s x$
$f^{'} (x) = - s i n x (1 + 2 c o s x)$

Je m'excuse, là c'est marqué f(x)=1/2 cos x+Cos(2x)+1
Capture d’écran 2022-04-18 à 17.45.27.png

Donc là je suppose qu'il y a une erreur au niveau du 1/2 (une question piège) !!!
Donc la fonction est plutot f(x) = cos x+1/2 cos(2x)+1. Dans ce cas là on aura bine le résultat. Pour laquestion résoudre l'équation sin(x) [1 + 2cos(x)] = 0 on aura sin x=0 ou cos x=-1/2 alors les solutions sont les valeurs 0, $π\pi$ et 2 $π\pi$ /3, n'est ce pas ?

Bonsoir @Alef-Education ,
Effectivement, la seconde expression (de l'énoncé ) que tu donnes ne convient pas avec la dérivée indiquée.

Piège ? ou erreur d'énoncé (plus probable...) ?

Je ne vois pas d'autre solution que de prendre la fonction que je te propose et avec ça, toute la suite est valable.

Pour trouver les solutions qui annulent le dérivée, fais le cercle trigonométrique et utilise les angles remarquables

Sur $[0,2π][0,2\pi]$

$s i n x = 0$ apour $x=0,π,2πx=0,\pi, 2\pi$
$cosx=−12cosx=-\dfrac{1}{2}$ pour $x=2π3,4π3x=\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{4\pi}{3}$

Vérifie que ces valeurs correspondent au graphique.

Merci. La suite de l'exercice:

a) En s’appuyant sur la représentation graphique de la fonction dérivée
f ′ ci-dessus, dresser le le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 2π].
b) Déduire des questions 2. et 3. a) le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 2π]. Préciser les ordonnées des points dont l’abscisse x vérifie f ′(x) = 0 .
Tracer la courbe représentative de f sur l’intervalle [0 ; 2π] dans le repère précédent (où f ′est déjà représentée)

C'est bien ca le tableau de variation Capture d’écran 2022-04-18 à 18.17.37.png
avec f(0)=5/2, f(2 $π\pi$ /3)=1/4, f( $π\pi$ )=1/2, f(4 $π\pi$ /3)=1/4 et f(2 $π\pi$ )=5/2

@Alef-Education

Ce n'est pas clair entre sinx(1+2cosx) et -sinx(1+2cosx)

Il y a des confusions entre sinx et -sinx

MAis la fonction ne peut pas etre croissante de 5/2 vers 1/4. Non?

@Alef-Education ,

$f^{'} (x) = - s i n x (1 + 2 c o s x)$

il doit y avoir des problèmes avec le signe "-"

@mtschoon Mais j'ai bien inversé les signes sans f et j'ai pris le "-" en considération.

@Alef-Education, le signe de f'(x) que tu trouves devrait correspondre au graphique donné (pour la dérivée).

Avec les écritures manuelles que tu utilises, ce n'est pas clair...

Demain je te ferais un tableau de variation précis pour éviter toute confusion.

@mtschoon ainsi que la courbe représentative. Merci.

@Alef-Education , bonjour,

Comme convenu, je te joins un tableau de variation, pour que tu puisses vérifier/modifier le tien.

Le signe de $(- s i n x)$ et $(1 + 2 c o s x)$ se lit sur le cercle trigonométrique.
Le signe de $f^{'} (x)$ s'obtient, en utilisant la règle des signes relative au produit, avec le signe de chaque facteur $(- s i n x)$ et $(1 + 2 c o s x)$ .
Le sens de variation de $f$ s'en déduit.

Demande si tu as quelque chose qui te gène.

@Alef-Education , vu que tu le souhaites, je te mets le graphique.
Tu peux l'obtenir sur ta calculette.
La fonction dérivée $f^{'}$ est en bleu et la fonction $f$ est en rouge.

Il faut bien sûr que tu réalises (c'est le but), que lorsque la courbe dérivée est en dessous de l'axe des abscisses, $f^{'} (x)$ est négative donc f est décroissante et que lorsque la courbe dérivée est au dessus de l'axe des abscisses, $f^{'} (x)$ est positive donc f est croissante

courbeDérivée.jpg

Merci beaucoup, puis-je mettre un deuxième exercice ?

@Alef-Education Bonsoir,

Oui, tu peux proposer un autre exercice, mais écris l'énoncé et tes éléments de réponse.

@Noemi D accord. Merci