Problème de pirates (kangourou des mathématiques 2022)


  • R

    Bonjour,
    Suite au kangourou des mathématiques 2022, j'ai voulu aller plus loin sur la question 17, mais je ne parvient pas à la terminer, merci pour votre aide

    Problème :
    Un groupe de pirates se répartit 200 pièces d'or et 600 d'argent
    Chaque officier reçoit 5 pièces d'or et 10 d'argent
    Chaque canonniers reçoit 3 pièces d'or et 8 d'argent
    Chaque simple pirate reçoit 1 pièce d'or et 6 d'argent
    Le nombre total de pirates qui composent ce groupe est de 80
    Soit x le nombre d'officiers, y le nombre de canonniers et z le nombre de simple pirate
    Déterminer x, y et z nombre entier naturel, pour que la répartition des pièces soit exacte

    Résolution :
    A partir des équations :
    5 x + 3 y + z = 200
    10 x + 8 y + 6 z = 600
    x + y + z = 80
    J'en déduit :
    y + 2 x = 60
    y + 2 z = 100
    z - x = 20
    .............
    Et là je n'arrive pas à m'en sortir, je retombe toujours sur x = 0
    Avec un tableau Excel j'ai trouvé la solution suivante, sans réussir à la démonter
    S = { 23 ; 14 ; 43 } Merci pour votre aide


  • mtschoon

    @raphael121 , bonjour,

    Quelques réflexions,

    Le système que tu donnes est indéterminé sur R3R^3R3 (infinité de triplets solutions)
    Si tu es curieux, tu peus regarder des résolutions en ligne
    https://matrixcalc.org/fr/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination({{5,3,1,200},{10,8,6,600},{1,1,1,80}})

    Tes calculs sont exacts.

    De ton dernier système écrit, tu peux conclure, par exemple en exprimant x et y en fonction de z :
    x=z-20
    y=100-2z
    z=z

    A chaque valeur réelle de z, tu trouves une valeur pour x et une valeur pour y

    Ici, il y a des contraintes à indiquer car x, y, z sont des entiers naturels compris entre 0 et 80

    Tu as donc les conditions :
    0≤z≤800\le z\le 800z80
    0≤100−2z≤800\le 100-2z\le 8001002z80
    0≤z−20≤800\le z-20\le 800z2080

    Tu trouveras ainsi les valeurs possibles pour z (et les valeurs correspondantes pour x et y)

    Remarque : la solution que tu trouves avec Excel est bonne ( pour z=43, tu obtiens bien x=23 et y=14) , mais ce n'est pas la seule.


  • R

    @mtschoon Merci pour votre réponse et pour le lien


  • mtschoon

    De rien @raphael121

    J'espère qu'avec les contraintes tu as trouvé que zzz peut prendre les valeurs naturelles comprises entre 202020 et 505050 (dont 434343 fait partie).


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