Problème de pirates (kangourou des mathématiques 2022)

Bonjour,
Suite au kangourou des mathématiques 2022, j'ai voulu aller plus loin sur la question 17, mais je ne parvient pas à la terminer, merci pour votre aide

Problème :
Un groupe de pirates se répartit 200 pièces d'or et 600 d'argent
Chaque officier reçoit 5 pièces d'or et 10 d'argent
Chaque canonniers reçoit 3 pièces d'or et 8 d'argent
Chaque simple pirate reçoit 1 pièce d'or et 6 d'argent
Le nombre total de pirates qui composent ce groupe est de 80
Soit x le nombre d'officiers, y le nombre de canonniers et z le nombre de simple pirate
Déterminer x, y et z nombre entier naturel, pour que la répartition des pièces soit exacte

Résolution :
A partir des équations :
5 x + 3 y + z = 200
10 x + 8 y + 6 z = 600
x + y + z = 80
J'en déduit :
y + 2 x = 60
y + 2 z = 100
z - x = 20
.............
Et là je n'arrive pas à m'en sortir, je retombe toujours sur x = 0
Avec un tableau Excel j'ai trouvé la solution suivante, sans réussir à la démonter
S = { 23 ; 14 ; 43 } Merci pour votre aide

@raphael121 , bonjour,

Quelques réflexions,

Le système que tu donnes est indéterminé sur $R^3$ (infinité de triplets solutions)
Si tu es curieux, tu peus regarder des résolutions en ligne
https://matrixcalc.org/fr/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination({{5,3,1,200},{10,8,6,600},{1,1,1,80}})

Tes calculs sont exacts.

De ton dernier système écrit, tu peux conclure, par exemple en exprimant x et y en fonction de z :
x=z-20
y=100-2z
z=z
A chaque valeur réelle de z, tu trouves une valeur pour x et une valeur pour y

Ici, il y a des contraintes à indiquer car x, y, z sont des entiers naturels compris entre 0 et 80

Tu as donc les conditions :
$0≤z≤800\le z\le 80$
$0≤100−2z≤800\le 100-2z\le 80$
$0≤z−20≤800\le z-20\le 80$

Tu trouveras ainsi les valeurs possibles pour z (et les valeurs correspondantes pour x et y)

Remarque : la solution que tu trouves avec Excel est bonne ( pour z=43, tu obtiens bien x=23 et y=14) , mais ce n'est pas la seule.

@mtschoon Merci pour votre réponse et pour le lien

De rien @raphael121

J'espère qu'avec les contraintes tu as trouvé que $z$ peut prendre les valeurs naturelles comprises entre $20$ et $50$ (dont $43$ fait partie).