4. probleme sur les produits scalaires

probleme sur les produits scalaires

  • R

    Bonjour, pouvez vous m'orienter sur cet exercice svp :

    Partie A

    dans le plan on considère le cercle C de centre O et de rayon R . [PQ] est un diamètre de ce cercle .
    1-exprimer , pour tout point M du plan , vecteurs MP.MQ en fonction de OM et de R.
    -vecteurs MP.MQ est donc indépendant du diamètre [PQ]choisi.
    -Ce réel s'appelle puissance du point M par rapport au cercle C.
    -soit f la fonction qui , à tout point M du plan , associe le réel f (M)=vecteurs MP.MQ.
    2-déterminer puis construire l'ensemble des points M du plan dans chacun des cas suivants:
    2-a- f(M)=0
    2-b- f(M)=-R^2
    2-C- f(M)=-(3R^2)/4
    3-on trace par M une droite quelconque qui coupe le cercle en A et B.
    Démonter que vecteurs MP.MQ=MA.MB.
    4-etudier le signe de vecteurs MA .MB suivant la position de M par rapport a C.

    Partie B

    Le plan est reporté dans un repère orthonormé (o,i,j).On appelle C l'ensemble des points du plan dont les coordonnées vérifient l'équation x^2+y^2-4x-2y-11=0.

    1. Prouver que C est un cercle .Préciser son centre O et son rayon R .Le construire.
    2. Soit M de coordonnées (x,y). Exprimer, si [PQ] est un diamètre de C, f(M) = vecteurs MP.MQ en fonction de x et de y.
      3)Déterminer puis construire sur la même figure, l'ensemble des points M dans chacuns des cas :
      3a) f(M)=16
      3b) f(M)=-16
      3c) f(M)= 9

    Voici ce que j'ai fait:

    Partie A:

    1. [PQ]diametre donc OP +OQ=0 (vecteurs)
      MP.MQ =(MO+OP).(MO+OQ)
      =MO²+MO.OQ+OP.MO +OP.OQ
      =MO²+ MO(OP+OQ) -R²
      =MO² -R²

    2)a) f(M)=0
    OM²-R²=0
    OM=R c'est le cercle C

    2)b) f(M) =-R²
    OM²-R² =-R²
    OM²=R²-R²=0
    OM = 0
    donc O et M confondus
    donc l'ensemble des points est O

    2)c) f(M) =-3R²/4
    OM²-R²=-3R²/4
    OM²=R²-3R²/4
    OM²=R²/4
    l'ensemble est le cercle de centre O de rayon R/2

    1. Comme pour le 1) : décompose avec le point O.

    PARTIE B:

    1. l'équation d'un cercle étant (x-a)^2+(y-b)^2=R^2 on a : x^2+y^2-2ax-2by+(a^2+b^2-R^2)=0 or on sait que x^2+y^2-4x-2y-11=0.
      donc C est bien un cercle avec a=2, b=1 et R=4

    2. Si M(x;y) et O(2;1) alors OM^2 = (x-2)^2+(y-1)^2 donc
      f(M)=(x-2)^2+(y-1)^2-4^2=x^2-4x+y^2-2y-11

    Merci de m'aider.

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