suite arithmético-géométrique

bonsoir a tous!

Soit $U_n)$ la suite (arithmético-géométrique ou récurrente affine) définie par $U_0$ et $U{n_+1} = αU_n + b$ avec $a$ et $b$ differents de $0$

Si $U_n)$ converge, que vaut sa limite $ℓ$ ?
Montrer que $U_n − ℓ)$ est géométrique.
On vient en fait d’effectuer un changement de repère pertinent.

pour la question n'ayant pas quand même démontré que la suite est majorée ou minorée j'ai posé $l = α l + b$ soit $l=b1−αl=\frac{b}{1-α}$
je sais pas si c'est juste pour la question 2 je bloque étant donnée que j'ai pas l'expression de $U_n$
merci de m'éclairer!

@loicstephan Bonjour,

La valeur de la limite est juste.
Que doit-on en déduire pour $α\alpha$ ?

Bonjour,

L = b/(1 - a)

V(n) = U(n) - L
V(n) = U(n) - b/(1 - a)

V(n+1) = U(n+1) - b/(1 - a)
V(n+1) = aU(n) + b - b/(1 - a)
V(n+1) = aU(n) + b - b/(1 - a)
V(n+1) = aU(n) + (b(1-a) - b)/(1 - a)
V(n+1) = aU(n) - a*b/(1 - a)
V(n+1) = a * [U(n) - b/(1 - a)]
V(n+1) = a * V(n)

Vn est donc une suite géométrique de raison a et de premier terme V(0) = U(0) - b/(1 - a)

Suite non demandée par l'énoncé :

V(n) = [U(0) - b/(1 - a)] * a^n

U(n) - L = [U(0) - b/(1 - a)] * a^n

U(n) = [U(0) - b/(1 - a)] * a^n + L

U(n) = [U(0) - b/(1 - a)] * a^n + b/(1 - a)

Recopier sans comprendre est inutile.

Bonjour,

@loicstephan , je réponds à ton doute pour ta question 1) (la solution pour la 2) t'a été donnée)

La question 1) indique :
"Si $U_n)$ converge, que vaut $l$ ?"

Si tu lis bien l'énoncé, on ne te demande pas de prouver que la suite $U_n)$ converge.
On te demande seulement de trouver la limite $l$ dans le cas où elle converge
Ta réponse est bonne : SI la suite converge, $l$ sera la solution de l'équation $l=αl+bl=\alpha l+b$ d'où ta réponse $l=b1−αl=\dfrac{b}{1-\alpha}$

Bien sûr, après la question 2), il aurait été heureux qu'il y ait une question 3) conséquence de la 2), relative à la convergence de $U_n)$ ...

@Noemi a dit dans suite arithmético-géométrique :

Que doit-on en déduire pour α\alphaα ?

d'après les calculs de @Black-Jack on conclu que $α\alpha$ est la raison de la suite formée par $U_n-L$

@mtschoon a dit dans suite arithmético-géométrique :

Bien sûr, après la question 2), il aurait été heureux qu'il y ait une question 3) conséquence de la 2), relative à la convergence de (Un)(U_n)(Un)...

croissante et majorée ou décroissante et minorée

@loicstephan ,

Ta proposition "croissante et majorée ou décroissante et minorée" ne s'utilise pas ici.

Par hypothèse $α\alpha$ et $b$ sont différents de 0.
Pour $α=1\alpha =1$ , $Un+1=αUn+bU_{n+1}=\alpha U_n+b$ s'écrit : $U_{n+1}= U_n+b$ . c'est une suite arithmétique.

Ici, on étudie le cas $α≠1\alpha\ne 1$

A la question 2 , on a posé $l=b1−αl=\dfrac{b}{1-\alpha}$ et $V_n=U_n-l$
On a démontré que $V_n)$ est la suite géométrique de premier terme $V0=U0−b1−αV_0=U_0-\dfrac{b}{1-\alpha}$ et de raison $α\alpha$

s'où $Vn=V0.αn\boxed{V_n=V_0.\alpha^n}$

On tire la conséquence sur la convergence (ou divergence) de $U_n)$ :

En appliquant le cours sur les suites géométriques ,

1er cas : Pour $0<∣α∣<10\lt |\alpha|\lt 1$ , la suite $V_n)$ converge vers 0.
Vu que $V_n=U_n-l$ , $U_n)$ converge vers $l$

2ème cas : Pour $∣α∣>1|\alpha|\gt 1$ , la suite $V_n)$ diverge,
Vu que $V_n=U_n-l$ , $U_n)$ diverge.

Deux exemples pour illustrer :
Soit $U_0=2$ et $Un+1=12Un−3U_{n+1}=\dfrac{1}{2}U_n-3$
On est dans le premier cas, et l'on trouve que $U_n)$ converge vers $- 6$

Soit $U_0=2$ et $U_{n+1}=2U_n-3$
On est dans le second cas, et l'on trouve que $U_n)$ diverge (vers + $∞\infty$ )

Bonne réflexion.

bonjour @mtschoon merci

De rien @loicstephan .
J'espère que c'est clair pour toi.
Bon travail !