Equation différentielle


  • Lucass

    Bonjour,

    Je voudrais de l'aide pour cet exercice que je ne comprends pas.

    Une note de musique est émise en pinçant la corde d'une guitare électrique.
    la puissances émise de 100watts, diminue avec le temps t, mesuré en seconde.
    On modélise par la fonction f la puissance du son émis, exprime en watt, t seconde après le pincement de la corde.
    On admet que f est solution de l équation différentielle (E) suivante :
    25y' + 3y=0,

    où y est une fonction de la variable t définie et dérivable sur l'intervalle [0; +oo[ et ou y' est la fonction dérivée de y.

    PARTIE A:

    1. Résoudre l'équation différentielle 25y'+3y=0
    2. Déterminer la fonction f solution de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale f(0)=100.
    3. Quelle est la puissance du son deux seconde après le pincement de la corde? Arrondir au watt près.
      Pour la suite on admet que la fonction f est définie sur l intervalle [0; + oo[ par : f(t)=100e^-0,12t.

    Je veux déjà faire cette partie avant d'entamer les deux autres merci d'avance.


  • N
    Modérateurs

    @Lucass Bonjour,

    Les deux premières questions sont des questions liées au cours.
    La solution d'une équation différentielle de la forme : y′+ay=0y'+ay=0y+ay=0 avec aaa différent de 000 est: y=Ke−axy = Ke^{-ax}y=Keax avec K une constante.
    On détermine la constante à partir d'une condition initiale.

    Un exemple : Résoudre l'équation 4y'-3y=0;
    Equation équivalente à y'-\dfrac{3}{4}y= 0 ; a=−34a = -\dfrac{3}{4}a=43 la solution est de la forme
    y=Ke34xy=Ke^{\frac{3}{4}x}y=Ke43x
    condition particulière f(0)=12f(0)= 12f(0)=12,
    Résolution de l'équation 12=Ke34×0=K12=Ke^{\frac{3}{4}\times 0} =K12=Ke43×0=K,
    Donc la solution est y=12e34xy=12e^{\frac{3}{4}x}y=12e43x.


  • mtschoon

    Bonjour,

    @Lucass , la réponse à la 1) et 2) est donnée indirectement dans l'énoncé vu qu'à la 3). il est indiqué f(t)=100e−0.12tf(t)=100e^{-0.12t}f(t)=100e0.12t

    A la 1), tu dois donc trouver, avec la formule générale
    y=Ke−315ty=Ke^{-\dfrac{3}{15}t}y=Ke153t c'est à dire y=Ke−0.12ty=Ke^{-0.12t}y=Ke0.12t

    et à la 2), f(0)=100f(0)=100f(0)=100 donne K=100K=100K=100 d'où l'expression proposée à la 3).

    Pour la 3), tu fais le calcul de f(2).


  • B

    Pour info,

    Cet exercice donne des valeurs complètement folles ... comme c'est malheureusement très souvent le cas quand on se mêle d'utiliser des grandeurs physiques sans en avoir les compétences.

    Qu'est ce que cela apporte, à part donner des ressentis complètement faux aux élèves ?


    Supposons être à 1 m d'une source de niveau d'intensité sonore de 102 dB (limite maximum autorisée dans les lieux diffusant de la musique amplifiée (concerts ...), décrêt n°2017-1244 du 7 août 2017)

    On a la relation : Lp = 10 * log(I/Io) avec Io = 10^-12 W/m²

    102 = 10 * log(I/10^-12)
    I = 0,0158 W/m²
    La "puissance sonore" de la source est P = 0,0158 * 4*Pi * 1² = 0,2 W

    Et donc, la corde de guitare émet une puissance de 100 W, soit 500 fois plus que le maximum autorisé pour la sono lors d'un concert.

    Ce serait comique ... si ce n'était pas à pleurer.

    Celui qui a fait l'énoncé a probablement confondu la puissance sonore avec la puissance électrique envoyée par un ampli dans un baffle... sauf que le rendement d'un baffle ((puissance acoustique) / (puissance électrique reçue) est ridiculement petit (généralement un morceau de %).


  • Lucass

    Bonjour,

    Merci pour toutes vos réponses, je comprends mieux j'avais fait ces calculs mais je n'étais pas sûr ,

    Pour la 3, j'ai donc fait : f(2)= 12e^3/4*2
    = 53,8 W

    La puissance du son sera d'environ 53,8 Watts


  • Lucass

    Partie B

    On s'intéresse à l'instant à partir duquel la puissance du son émis après le pincement de l corde sera inférieure à 80 W.
    On considère le programme Python suivant:

    From math import exp
    def ProblemeSon(pas) :
    a=0
    while 100exp(-0,12a) > 80 :
    a = a + pas
    return (a - ^pas, a)

    1. Quelles sont les valeurs renvoyées par cette fonction lorsque l'on prend un pas de 0,5 ?
    2. Dans le contexte de cet exercice, que représentent ces valeurs ?

  • B

    @Lucass a dit dans Equation différentielle :

    Bonjour,

    Merci pour toutes vos réponses, je comprends mieux j'avais fait ces calculs mais je n'étais pas sûr ,

    Pour la 3, j'ai donc fait : f(2)= 12e^3/4*2
    = 53,8 W

    La puissance du son sera d'environ 53,8 Watts

    Ben non.

    Noemi t'a donné un exemple de calcul, pas le calcul exact demandé par ton problème.

    mtschonn te l'a rappelé plus que clairement ... et tu n'en n'as pas tenu compte.


  • Lucass

    Pour la première je fais des calculs mais je ne comprends pas et pour la deuxième j'ai mis que selon les instants où la puissance du son émis après le pincement de la corde sera supérieur à 80 W.


  • N
    Modérateurs

    @Lucass

    J'ai donné juste un exemple pour résoudre les questions 1 et 2.
    Regarde le message fourni par mtschoon, il contient les réponses aux questions 1 et 2 et le calcul à faire pour résoudre la question 3.


Se connecter pour répondre