Exercice dénombrement

Bonjour, j'ai un petit exercice ... Merci d'avance.
Un sac contient cinq jetons verts numérotés de 1 à 5 et quatre jetons rouges numérotées de 1 à 4 .
On tire successivement et sans remise trous jetons du sac.
Combien y-a-t-il de façon de tirer au plus deux jetons verts?

@ASMAE Bonsoir,

Vu que c'est au plus,
tu calcules le nombre d'arrangement ayant 0, 1 et 2 jetons verts et tu fais la somme.

@Noemi
Mais dans la solution ils ont multiplier par 3 dans les membres sauf 5P0×4P3
J'ai pas compris pourquoi ils ont multiplier par 3 ?

salut!
Sauf erreur de ma part ,tirer au plus deux jetons verts c'est a dire en posant $X$ le tirage on voudrait que $\leq2$ on a donc 3 possibilités: ( $X = 0, X = 1, X = 2$ )
soit $\leq2=(X=0)+(X=1)+(X=2)$
tirer exactement 0 jeton vert : $(X = 0)$ on a : $A_5^0A_4^3$
tirer exactement 1 jeton vert: $(X = 1)$ on a : $A_5^1A_4^2$
tirer exactement 2 jeton vert: $(X = 2)$ on a : $A_5^2A_4^1$

Avec $Ank=n!(n−k)!A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$
Bonne réflexion

@ASMAE

Il faut multiplier par 3, car 3 arrangements possibles
exemple pour un jeton vert $(R, R, V)$ ; $(R, V, R)$ et $(R, R, V)$ .

@loicstephan @Noemi dcc merci

Bonjour,

@ASMAE , si tu le souhaites ou pour vérifier, tu peux aussi faire la démarche indirecte.

Soit X le nombre de jetons verts tirés parmi les trois jetons tirés.

a) Si tu as bien compris la démarche directe, tu as dû trouver :
Pour $X = 0$ : $N0=A43=4×3×2=24N_0=A_4^3=4\times 3\times 2=24$
Pour $X = 1$ : $N1=3×(A51×A42)=3×(5×4×3)=180N_1=3\times (A_5^1\times A_4^2)=3\times (5\times 4\times 3)=180$
Pour $X = 2$ : $N2=3×(A52×A41)=3×(5×4×4)=240N_2=3\times (A_5^2\times A_4^1)=3\times (5\times 4\times 4)=240$
Le nombre cherché N est $N=N0+N1+N3=24+180+240=444\boxed{N=N_0+N_1+N_3=24+180+240=444}$

b) Démarche indirecte
Soit $T$ le nombre total de de façons de tirer 3 jetons du sac :
Il y a 9 jetons dans le sac.

$T=A53=9×8×7=504T=A_5^3=9\times 8\times 7=504$

Pour $X = 3$ : $N3=A53=5×4×3=60N_3=A_5^3=5 \times 4\times 3=60$

Donc le nombre cherché $N$ est $N=T−N3=504−60=444\boxed{N=T-N_3=504-60=444}$

Bonne lecture.

@mtschoon
Dcc merci infiniment

De rien @ASMAE .
C'est parfait si tout est clair pour toi.