Produit scalaire exercice

Bonsoir j'ai une démonstration à faire sur le produit scalaire mais je ne comprends pas
u et v sont deux vecteur. Démonter que

-||u||.||v||<u.v<||u||.||v||
2)| ||u||-||v|| |<||u-v||

Merci d'avance

@serme Bonsoir,

Pour la première inéquation, utilise la relation :
$u→.v→=∥u→∥×∥v→∥cos(u→,v→)\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\Vert\overrightarrow{u}\Vert \times \Vert\overrightarrow{v}\Vert cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ et le domaine du cosinus.

@Noemi bonsoir
Si j'utilise ce que vous m'avez dit on aura
-1<cos(u,v)<1 on multiplie chaque membre par ||u||.||v|| et on obtient
-||u||.||v||<||u||.||v||.cos(u,v)<||u||.||v||

@serme

C'est la démarche. il faut juste analyser les cas ou le cosinus est égal -1 et 1.
Peut-être une condition indiquée dans l'énoncé sur les deux vecteurs.

Bonjour,
@serme , ce que tu dis est bizarre.

Par définition d'un cosinus, tu as la double inégalité au sens large
$−1≤cos(U→,V→)≤1-1\le cos(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V})\le 1$

En multipliant par $∣∣U→∣∣×∣∣V→∣∣||\overrightarrow{U}||\times ||\overrightarrow{V}||$ qui est positif (au sens large), tu obtiens la double inégalité au sens large voulue.

Pour la seconde inégalité à démontrer , tu peux utiliser une propriété qui doit être dans ton cours : le module d'une somme de vecteurs est inférieur (au sens large) à la somme des modules de ces vecteurs.

@serme , idée éventuelle pour la seconde inégalité,

Penser que $U→\overrightarrow{U}$ peut s'écrire $V→+(U→−V→)\overrightarrow{V}+(\overrightarrow{U}-\overrightarrow{V})$

Ainsi, avec la propriété indiquée précédemment :
$∣∣V→+(U→−V→)∣∣≤∣∣V→∣∣+∣∣(U→−V→∣∣||\overrightarrow{V}+(\overrightarrow{U}-\overrightarrow{V})||\le ||\overrightarrow{V}||+||(\overrightarrow{U}-\overrightarrow{V}||$

c'est à dire
$∣∣U→∣∣≤∣∣V→∣∣+∣∣(U→−V→∣∣||\overrightarrow{U}||\le ||\overrightarrow{V}||+||(\overrightarrow{U}-\overrightarrow{V}||$

En transposant $∣∣V→∣∣||\overrightarrow{V}||$ dans le membre de gauche, on obtient l'inégalité voulue.

@mtschoon bonjour
Merci pour tout

DE rien @serme , bon travail.