Produit scalaire exercice


  • J

    Bonsoir j'ai une démonstration à faire sur le produit scalaire mais je ne comprends pas
    u et v sont deux vecteur. Démonter que

    1. -||u||.||v||<u.v<||u||.||v||
      2)| ||u||-||v|| |<||u-v||

    Merci d'avance


  • N
    Modérateurs

    @serme Bonsoir,

    Pour la première inéquation, utilise la relation :
    u→.v→=∥u→∥×∥v→∥cos(u→,v→)\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\Vert\overrightarrow{u}\Vert \times \Vert\overrightarrow{v}\Vert cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})u.v=u×vcos(u,v) et le domaine du cosinus.


  • J

    @Noemi bonsoir
    Si j'utilise ce que vous m'avez dit on aura
    -1<cos(u,v)<1 on multiplie chaque membre par ||u||.||v|| et on obtient
    -||u||.||v||<||u||.||v||.cos(u,v)<||u||.||v||


  • N
    Modérateurs

    @serme

    C'est la démarche. il faut juste analyser les cas ou le cosinus est égal -1 et 1.
    Peut-être une condition indiquée dans l'énoncé sur les deux vecteurs.


  • mtschoon

    Bonjour,
    @serme , ce que tu dis est bizarre.

    Par définition d'un cosinus, tu as la double inégalité au sens large
    −1≤cos(U→,V→)≤1-1\le cos(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V})\le 11cos(U,V)1

    En multipliant par ∣∣U→∣∣×∣∣V→∣∣||\overrightarrow{U}||\times ||\overrightarrow{V}||U×V qui est positif (au sens large), tu obtiens la double inégalité au sens large voulue.

    Pour la seconde inégalité à démontrer , tu peux utiliser une propriété qui doit être dans ton cours : le module d'une somme de vecteurs est inférieur (au sens large) à la somme des modules de ces vecteurs.


  • mtschoon

    @serme , idée éventuelle pour la seconde inégalité,

    Penser que U→\overrightarrow{U}U peut s'écrire V→+(U→−V→)\overrightarrow{V}+(\overrightarrow{U}-\overrightarrow{V})V+(UV)

    Ainsi, avec la propriété indiquée précédemment :
    ∣∣V→+(U→−V→)∣∣≤∣∣V→∣∣+∣∣(U→−V→∣∣||\overrightarrow{V}+(\overrightarrow{U}-\overrightarrow{V})||\le ||\overrightarrow{V}||+||(\overrightarrow{U}-\overrightarrow{V}||V+(UV)V+(UV

    c'est à dire
    ∣∣U→∣∣≤∣∣V→∣∣+∣∣(U→−V→∣∣||\overrightarrow{U}||\le ||\overrightarrow{V}||+||(\overrightarrow{U}-\overrightarrow{V}||UV+(UV

    En transposant ∣∣V→∣∣||\overrightarrow{V}||V dans le membre de gauche, on obtient l'inégalité voulue.


  • J

    @mtschoon bonjour
    Merci pour tout


  • mtschoon

    DE rien @serme , bon travail.


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