Étude de fonctions avec des cos

Bonjour, j'ai besoin d'aide je n'arrive pas à développer mon calcul, du moins je ne sais pas comment faire.

Voici le début de mon calcul : cos(x) + cos (2x) =
CE: pas de CE Domf: tous les réels

Zéros : cos(x) + cos (2x)=
Cos(x) + 2cos²(x) -1=0
Delta : 1²-4×2×(-1)= 9
Cos x 1,2 = -1±3 /4= -1 et 1/2
Cos x = -1 ou cos x= 1/2
X= π + k2π x= π /3 + k2π ou x= -π /3+k2π

Ici je dois étudier la période en 2π
Donc je dois prouver que f ( x+ 2π ) = f(x)
Donc je dois faire une étude en [0;2π ] mais je ne vois pas comment faire.

Merci à ceux qui prendront le temps de me répondre

@__mnl__elm__ Bonjour,

L'énoncé n'est pas clair.
La résolution de $f (x) = c o s (x) + c o s (2 x) = 0$
donne les solutions que tu as indiquées.
Pour déterminer la période $T$ il faut résoudre $f (x + T) = f (x)$ .
Donc transforme $f(x+2π)=....f(x+2\pi)=....$

@Noemi justement je ne vois pas comment transformer cela

@__mnl__elm__

Tu utilises les relations trigonométriques
$cos(x+2π)=....cos(x+2\pi)=....$
$cos(2(x+2π)=cos(2x+4π)=....cos(2(x+2\pi)=cos(2x+4\pi)= ....$
donc
$f(x+2π)=....f(x+2\pi)=....$

@Noemi d'accord je vois, par contre je ne comprends pas pourquoi mettre cos(2(x+2pi)) je ne comprends pas ici l'importance du 2

@__mnl__elm__

Tu as $c o s (2 x)$ et si tu remplaces $x$ par $x+2πx+2\pi$
$c o s (2 x)$ devient $cos(2(x+2π))cos(2(x+2\pi))$

@Noemi merci à vous.

Bonjour,

@__mnl__elm__ , je pense que tu as terminé les calculs et que tu as trouvé que la période de f définie par $f (x) = c o s (x) + c o s (2 x)$ est $2π2\pi$

Une autre explication possible,
soit g(x)=cos(x)
Pour tout $x$ réel : $g(x)=cos(x)=cos(x+2kπ)g(x)=cos(x)=cos(x+2k\pi)$ ave $k∈Zk\in Z$
Par définiton LA période $T_g$ est le plus petit nombre strictement positif tel que $g(x)=g(x+T_g)$
donc $k = 1$ , $Tg=2πT_g=2\pi$

soit $h (x) = c o s (2 x)$
Pour tout $x$ réel : $h(x)=cos(2x)=cos(2x+2kπ)h(x)=cos(2x)=cos(2x+2k\pi)$ ave $k∈Zk\in Z$
c'est à dire $h(x)=cos(2x)=cos(2(x+kπ))h(x)=cos(2x)=cos(2(x+k\pi))$ ave $k∈Zk\in Z$
Par définiton LA période $T _h$ est le plus petit nombre strictement positif tel que $h(x)=h(x+T_h)$
donc $k = 1$ , $Th=πT_h=\pi$

Soit $T$ la période de $f$ .
$T$ est le plus petit commun multiple de $T_f$ et $T_g$
$T=PPCM(2π,π)=2πT=PPCM(2\pi,\pi)=2\pi$