3. Démonstration directe et déduction de limite

Démonstration directe et déduction de limite

  • L

    bonjour

    Je dois Montrer que 1k≥2((k+1)−k)\frac{1}{\sqrt k} \geq 2( \sqrt(k+1) - \sqrt k)k​1​≥2((​k+1)−k​) et en déduire que la suite de terme général ∑k=1n1k\sum_{k=1}^n \frac{1}{ \sqrt k}∑k=1n​k​1​ tend vers +oo+oo+oo
    besoin d'aide

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @loicstephan Bonjour,

    Multiplie chaque terme de l'inégalité par k+1+k\sqrt{k+1}+\sqrt kk+1​+k​,simplifie l'expression puis analyse.
    Pour la suite écris la somme en utilisant l'inégalité.

    L 2 réponses
  • L

    @Noemi ok je m'y met et je vous reviens pour vérification

  • L

    @Noemi
    on se retrouve a montrer que k+1\sqrt {k+1}k+1​ ≥\geq≥ k\sqrt {k} k​
    donc k+1−k≥0\sqrt {k+1} - \sqrt {k} \geq 0 k+1​−k​≥0 ce qui est vrai pour tout k≥1k \geq 1k≥1

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @loicstephan

    Pourquoi k≥1k\geq1k≥1 ?
    L'inégalité devient :
    k+1+kk≥2\dfrac{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}{\sqrt{k}}\geq 2k​k+1​+k​​≥2
    La fonction f(x)=xf(x)=\sqrt{x}f(x)=x​ est croissante.

    Je te laisse conclure.

    L 1 réponse
  • mtschoon

    Bonjour,

    Pour la première question, 1k\dfrac{1}{\sqrt k}k​1​ est défini pour k>0\boxed{k\gt 0}k>0​

    Peut-être que @loicstephan a écrit k≥1k\ge 1k≥1 car dans la conséquence relative à la somme, kkk prend des valeurs naturelles supérieures ou égales à 1.

    @loicstephan , pour la conséquence, pense à une somme télescopique comme cela t'avait été expliqué dans un précédent topic .

    L 1 réponse
  • L

    @Noemi a dit dans Démonstration directe et déduction de limite :

    @loicstephan

    Pourquoi k≥1k\geq1k≥1 ?
    L'inégalité devient :
    k+1+kk≥2\dfrac{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}{\sqrt{k}}\geq 2k​k+1​+k​​≥2
    La fonction f(x)=xf(x)=\sqrt{x}f(x)=x​ est croissante.

    Je te laisse conclure.

    k+1+kk≥2\dfrac{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}{\sqrt{k}}\geq 2k​k+1​+k​​≥2
    k+1k+kk≥2\dfrac{\sqrt{k+1}}{\sqrt{k}}+ \dfrac{\sqrt{k}}{\sqrt{k}}\geq 2k​k+1​​+k​k​​≥2
    k+1k+1≥2\dfrac{\sqrt{k+1}}{\sqrt{k}}+ 1 \geq 2k​k+1​​+1≥2
    k+1k≥1\dfrac{\sqrt{k+1}}{\sqrt{k}} \geq 1k​k+1​​≥1
    k+1≥k\sqrt{k+1} \geq {\sqrt{k}} k+1​≥k​
    @mtschoon dit 1k\dfrac{1}{\sqrt {k}}k​1​ plus grand que 0 avec cette condition
    k+1≥k\sqrt{k+1} \geq {\sqrt{k}} k+1​≥k​ donc
    k+1−k≥0\sqrt{k+1} - {\sqrt{k}} \geq 0 k+1​−k​≥0
    voila qui est terminer pour la premiere question et comme @Noemi a dit k\sqrt{k}k​ croissante

  • L

    @mtschoon a dit dans Démonstration directe et déduction de limite :

    Bonjour,

    Pour la première question, 1k\dfrac{1}{\sqrt k}k​1​ est défini pour k>0\boxed{k\gt 0}k>0​

    Peut-être que @loicstephan a écrit k≥1k\ge 1k≥1 car dans la conséquence relative à la somme, kkk prend des valeurs naturelles supérieures ou égales à 1.

    @loicstephan , pour la conséquence, pense à une somme télescopique comme cela t'avait été expliqué dans un précédent topic .

    justement je me suis appuyé sur la conséquence !
    maintenant lorsque j'écris a partir de ma dernière ligne ∑k=1n1k−∑k=1n1k+1\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{k}}- \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{k+1}}∑k=1n​k​1​−∑k=1n​k+1​1​
    j'ai belle et bien une somme télescopique =1−1n+1= 1-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}=1−n+1​1​
    cette limite en m'infinie me donne 111 or je dois trouver +oo+oo+oo

  • mtschoon

    @loicstephan , bonjour,

    @loicstephan a dit dans Démonstration directe et déduction de limite :

    @mtschoon a dit dans Démonstration directe et déduction de limite :

    Bonjour,

    Pour la première question, 1k\dfrac{1}{\sqrt k}k​1​ est défini pour k>0\boxed{k\gt 0}k>0​

    Peut-être que @loicstephan a écrit k≥1k\ge 1k≥1 car dans la conséquence relative à la somme, kkk prend des valeurs naturelles supérieures ou égales à 1.

    @loicstephan , pour la conséquence, pense à une somme télescopique comme cela t'avait été expliqué dans un précédent topic .

    @loicstephan a dit dans Démonstration directe et déduction de limite :
    justement je me suis appuyé sur la conséquence !
    maintenant lorsque j'écris a partir de ma dernière ligne ∑k=1n1k−∑k=1n1k+1\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{k}}- \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{k+1}}∑k=1n​k​1​−∑k=1n​k+1​1​
    j'ai belle et bien une somme télescopique =1−1n+1= 1-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}=1−n+1​1​
    cette limite en m'infinie me donne 111 or je dois trouver +oo+oo+oo

    Je reprends le principe de la somme télescopique car ta réponse n'est pas exacte.

    {11≥2(2−1)12≥2(3−2)......1n≥2(n+1−n)\begin{cases}\dfrac{1}{\sqrt 1}\ge 2(\sqrt 2-\sqrt1)\cr \dfrac{1}{\sqrt 2}\ge 2(\sqrt 3-\sqrt2)\cr ...\cr...\cr\dfrac{1}{\sqrt n}\ge 2(\sqrt {n+1}-\sqrt n)\end{cases}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​1​1​≥2(2​−1​)2​1​≥2(3​−2​)......n​1​≥2(n+1​−n​)​

    Tu ajoutes les membres de gauche entre eux et les membres de droite entre eux
    Tu simplifies le membre de droite ainsi obtenu ( je t'avais fait des "barres en pointillés" dans un autre topic)

    Tu obtiendras :
    ∑k=1n1k≥2(.......)\displaystyle \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}\ge 2(.......)k=1∑n​k1​≥2(.......)

    Je te laisse trouver le résultat.
    Tu peux l'indiquer si tu souhaites une vérification.

    L 1 réponse
  • L

    @mtschoon
    Ok je m’y met et je vous reviens pour vérification!

  • L

    @mtschoon

    après réduction sauf erreur de ma part j'ai :
    ∑k=1n1k≥2(n+1−1)\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{k}} \geq 2( \sqrt{n+1}-1)∑k=1n​k​1​≥2(n+1​−1)
    avec Lim lorsque n tend vers  +oo  de  2(n+1−1)=+ooLim \ lorsque \ n \ tend \ vers \ \ +oo \ \ de \ \ 2( \sqrt{n+1}-1)= +oo Lim lorsque n tend vers  +oo  de  2(n+1​−1)=+oo
    la somme de droite etant plus petite que celle de gauche alors par comparaison la limite de la somme de gauche tend également vers +oo+oo+oo

    '' sauf erreur de ma part''
    je me suis trompé dans mon précèdent post en appliquant sur k+1−k≥0\sqrt{k+1} - \sqrt{k} \geq 0k+1​−k​≥0

  • mtschoon

    @loicstephan , bonjour,

    Cette fois ,ta démarche est exacte.
    C'est parfait.

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