Besoin d'aide devoir etude de fonctions


  • *__mnl__elm__*

    J'ai une fonction : racine cubique de x³-3x+2
    J'ai plusieurs questions : est ce que le domaine vaut tous les réels ?
    Et je n'arrive pas à faire ma dérivée première: j'obtiens
    3x²-3 / racine cubique (x³-3x+2)² et je ne pense que ce soit juste
    Le calcul que j'ai fait : ((x³-3x+2)⅓)'= 1/3.( x³-3x+2)‐⅔.(3x²-3) = 3x²-3/ racine cubique (x³-3x+2)²

    Merci à ceux qui prendront le temps de répondre


  • N
    Modérateurs

    @__mnl__elm__ Bonjour,

    Il manque le 1/3 à la dernière écriture de la dérivée.
    Tu peux simplifier l'expression.


  • mtschoon

    Bonjour,
    @__mnl__elm__ , je regarde ta première question :
    "est ce que le domaine vaut tous les réels ?"

    S'il s'agit vraiment de la fonction "racine cubique" la réponse est Oui.
    Tout nombre réel xxx a une racine cubique unique yyy telle que x=y3x=y^3x=y3 et on note y=x3y=\sqrt[3] xy=3x
    L'ensemble de définition de la fonction "racince cubique" est RRR
    Ton cours doit t'indiquer que pour x≠0x\ne 0x=0 la dérivée de x3\sqrt[3] x3x est 13(x3)2\dfrac{1}{3(\sqrt[3] x)^2}3(3x)21
    La fonction racine cubique est dérivable sur R∗R^*R (dénominateur non nul)

    UUU étant une fonction de xxx, pour U(x)≠0U(x)\ne 0U(x)=0, (U3(x))′=13(U(x))23×U′(x)(\sqrt[3] U(x))'=\dfrac{1}{3(\sqrt[3] {U(x))^2}}\times U'(x)(3U(x))=3(3U(x))21×U(x)

    Ici, f(x)=x3−3x+23f(x)=\sqrt[3]{x^3-3x+2}f(x)=3x33x+2
    Df=RD_f=RDf=R

    Comme te l'a indiqué Noemi, tu as oublié 13\dfrac{1}{3}31 dans ta dernière écriture.
    Tu dois trouver
    f′(x)=x2−1(x3−3x+23)2f'(x)=\dfrac{x^2-1}{(\sqrt[3] {x^3-3x+2})^2}f(x)=(3x33x+2)2x21

    Remarque : c'est très commode de passer par l'exposant 1/3 mais regarde ce que t'indique ton cours à ce sujet car il y a des "nuances" à faire...et c'est pour cela que dans ma réponse j'évite l'exposant 1/3...

    Autre remarque : La fonction f n'est pas dérivable sur RRR
    x3−3x+2=(x−1)2(x+2)x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)x33x+2=(x1)2(x+2)
    x3−3x+2=0x^3-3x+2=0x33x+2=0 <=> x=1x=1x=1 ou x=−2x=-2x=2
    Donc Df′=RD_f'=RDf=R \ {-2 , 1}


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