Comparaison de deux fonctions

Bonjour, Besoin d'aide s'il vous plait
j'ai un DM de mathématiques à rendre pour demain mais je suis totalement bloqué...
Voici le sujet :
On considère la fonction f(x)=(8x+4)/x définie sur R(0) et la fonction g(x)=x(2x+1) définie sur R.
Comparer f(x) et g(x).
Indication : on pourra montrer que f(x)-g(x)=((2x+1)(2-x)(2+x))/x et étudier le signe de cette différence.
C'est la première fois que je demande de l'aide sur un forum.

@Besoin-d-aide Bonjour,

Fais un tableau de signes pour l'expression de la différence.

@Noemi
Bonjour,
Je l'ai fait mais je ne vois pas en quoi cela va me servir...

Bonjour,

@Besoin-d-aide

Ce serait bien que tu dises ce que tu as fait.

As-tu fais le calcul de $f (x) - g (x)$ et as-tu trouvé $(2x+1)(2−x)(2+x)x\dfrac{(2x+1)(2-x)(2+x)}{x}$ ?

Non, je n'y arrive pas : je sais que (2−x)(2+x)est égal à 2^2-x^2 et j'ai beau retourner le problème dans tous les sens je n'y arrive pas.

@mtschoon Dois-je comparer les signes des deux fonctions afin de leurs trouver un intervalle commun ?

@Besoin-d-aide ,

Piste pour le début,

$f(x)−g(x)=8x+4x−x(2x+1)f(x)-g(x)=\dfrac{8x+4}{x}-x(2x+1)$

Tu réduis au même dénominateur $x$

$f(x)−g(x)=8x+4−x2(2x+1)xf(x)-g(x)=\dfrac{8x+4-x^2(2x+1)}{x}$

$f(x)−g(x)=4(2x+1)−x2(2x+1)xf(x)-g(x)=\dfrac{4(2x+1)-x^2(2x+1)}{x}$

Tu peux mettre $(2 x + 1)$ en facteur

$f(x)−g(x)=(2x+1)(4−x2)xf(x)-g(x)=\dfrac{(2x+1)(4-x^2)}{x}$

d'où

$f(x)−g(x)=(2x+1)(2−x)(2+x)xf(x)-g(x)=\dfrac{(2x+1)(2-x)(2+x)}{x}$

Ensuite, tu dois faire le tableau de signes comme te l'indique Noemi

Lorsque f(x)-g(x) est strictement positif, f(x) est strictement supérieur à g(x)
Lorsque f(x)-g(x) est strictement négatif , f(x) est strictement inférieur à g(x)
Lorsque f(x)-g(x) est nul , f(x) est égal à g(x)

@mtschoon Je commençais à y arriver en partant de (2x+1)(2−x)(2+x)/x.
Il y a juste que je ne comprends pas pourquoi x devient x^2 à la seconde étape...

$x$ devient $x^2$ en réduisant au même dénominateur $x$

@mtschoon D'accord merci pour tout vous avez été très pédagogue.

@Besoin-d-aide , de rien et merci pour ta remarque.

Reposte si tu as des difficultés avec le tableau de signes.

@mtschoon Merci j'y penserai...

@Besoin-d-aide ,
OK et bon travail surtout.