Ensemble solution d'une inéquation avec exponentielle (mathématiques 1ère spé)

Bonjour,

Donner l'ensemble des solutions de f'(x)≤0.

f'(x) = −7e^x / (e^x −1)^2

@hugo-mt_22 , bonjour,

Si j'ai bien lu :

$f′(x)=−7ex(ex−1)2f'(x)=\dfrac{-7e^x}{(e^x-1)^2}$

Piste,

Condition d'existence de $f^{'}$ : $x≠0x\ne 0$ pour que le dénominateur soit non nul

$D_{f'}=R^*$

Tu travailles sur $R^*$

$e^x$ , pour tout $x$ réel , est strictement positif donc :

$−7ex<0-7e^x \lt 0$
$(ex−1)2>0(e^x-1)^2\gt 0$

Tu tires la conclusion.

@mtschoon cela veut dire que ]1/2;+infini[

@hugo-mt_22 ,

Ta proposition de réponse est bizarre.
Pour tout x non nul, $f′(x)<0f'(x)\lt 0$ (car quotient d'un nombre strictement négatif par un nombre strictement positif).

Donc $f′(x)≤0f'(x)\le 0$ est vraie pour tout réel non nul.

L'ensemble des solutions de l'inéquation que tu indiques est $R^*$

@mtschoon Donc j'écris en réponse R*?

@hugo-mt_22 ,

Oui, si c'est ça la question.

En conséquence, si tu as à étudier la fonction $f$ dont la dérivée est $f^{'}$ , tu peux déduire que f est décroissante (strictement) sur $]−∞,0[]-\infty,0[$ ainsi que sur $]0,+∞[]0,+\infty[$

@mtschoon est donc je répond R*

@hugo-mt_22

Oui.

@mtschoon Et comment faire le tableau de variation svp?

@hugo-mt_22 , comme tout tableau de variation, tu mets une ligne pour x, une ligne pour f'(x) et une ligne pour f.

Dans la ligne de x ,entre $−∞-\infty$ et $+∞+\infty$ , tu mets 0 , puis une double barre (verticale) pour f'(x) et f (car 0 est la valeur interdite)

Dans la ligne de f'(x), tu dois mettre le signe "-" dans chacune des deux cases, vu que tu as prouvé que la dérivée est négative

Dans la ligne de f, tu mets deux flèches "descendantes", vu que la fonction est décroissante.

Tu peux compléter avec les limites si l'énoncé le demande.