Question de probabilité dans un problème

Bonjour je suis bloqué dans un passage de mon sujet et je souhaite que vous y prêtiez attention.

Dans cette étude on se place dans une expérience aléatoire où on détermine le temps qu'il fera le lendemain et ce tout au long d'un moi (30 jours)
Avec probabilité soleil = 0,9
Pluie = 0,1
L'expérience se répète on a donc une loi binominale
B(30 ; 0,9) parce qu'on s'intéresse au soleil.

Déterminer la probabilité qu'il fasse beau 20 jours de suite.

@Jérémie , bonjour,

Je regarde ta question

@Jérémie a dit dans Question de probabilité dans un problème :

Dans cette étude on se place dans une expérience aléatoire où on détermine le temps qu'il fera le lendemain et ce tout au long d'un moi (30 jours)
Avec probabilité soleil = 0,9
Pluie = 0,1
L'expérience se répète on a donc une loi binominale
B(30 ; 0,9) parce qu'on s'intéresse au soleil.

Déterminer la probabilité qu'il fasse beau 20 jours de suite.

Piste,

Effectivement, il y a bien 30 épreuves répétées indépendantes.
En appelant X le nombre de succès (c'est à dire nombre de jours de soleil, parmi 30) , X suit la loi binomiale $B (30; 0.9)$

$P (X = k)$ = $(30k){30}\choose {k}$ $0.9)^k (0.1)^{30-k}$

Et pour 20 jours de soleil (avec de la pluie les 10 autres) :

$P (X = 20)$ = $(3020){30}\choose {20}$ $0.9)^{20} (0.1)^{10}$

C'est ce que te dit la loi binomiale mais ce n'est pas exactement ce que te demande ton énoncé.

L'énoncé te dit "probabilité qu'il fasse beau 20 jours de suite".
On peut supposer que les 10 autres jours il pleut...

Alors au lieu de $(3020){30}\choose {20}$ qui veut dire "nombre de façons de choisir 20 jours parmi 30", il faut que tu trouves le nombre de façons de choisir 20 jours consécutifs, parmi 30.

Tu peux appeler ces jours $J_1, J_2,...,J_{30}$ et tu cherches le nombre de cas :
1er cas : il fait soleil de $J_1$ à $J_{20}$
2ème cas : il fait soleil de $J_2$ à $J_{21}$
etc

Reposte si besoin.

@mtschoon

Il s'agit d'un problème que je devrais présenter sous forme d'exposé.

Il n'y a pas une manière plus "démonstrative" et **directe (en utilisant les factorielles dans la formule) ** pour résoudre le problème ?

@Jérémie-

S'il n'existe pas d'autre manière, j'aimerais savoir ce que je fais après avoir compte les différentes "combinaisons" ?

@Jérémie Bonsoir,

La réponse à ta dernière question est dans la piste de mtschoon.
"Alors au lieu de $(3020){30}\choose {20}$ qui veut dire "nombre de façons de choisir 20 jours parmi 30", il faut que tu trouves le nombre de façons de choisir 20 jours consécutifs, parmi 30."

@Noemi
Oui mais cela ne donne pas la probabilité.
Uniquement les différentes possibilités.
Je fais quoi ensuite.

Bonsoir,

@Jérémie , si tu as compris ma proposition, tu dois trouver nombre de façons de choisir 20 jours consécutifs, parmi 30.

Comme déjà indiqué, le premier cas est $J_1$ à $J_{20}$
Le dernier cas est $J_{11}$ à $J_{30}$

ça fait $11$ cas.
Il n'y a pas besoin de factorielle pour cela .

Dans la formule $P (X = 20)$ de la loi binomiale, tu dois donc remplacer $(3020){30}\choose{20}$ par $11$ et conserver le reste de la formule.

La probabilité cherchée est donc $11(0.9)^{20}(0.1)^{10}$

@mtschoon
D'accord.
C'est donc une simple application

@Jérémie-
Merci beaucoup

De rien @Jérémie .

Ton exercice était une sorte de "variante" de la loi binomiale.

J'espère que maintenant tout est clair pour toi.