Mathématiques exercice

Soit f une fonction définie sur |R telle que pour tous réels x,y, f(x+y)=f(x)f(y). On admet que f est dérivable dans |R
1Montrer que f(0)=0 ou f(0)=1
2)Montrer que pour tout réel x f(x)>=0( on pourra remarquer que x=x/2 +x/2)
3)montrer que pour tout réel x f’(x)=f(0)f’(x)
4)en déduire que si f(0)=0 alors pour tout réel x f(x)=0
5)on fixe x et on pose x=Xo on suppose f(0)=1
a) montrer que f’(y+ Xo)=f(Xo)f’(y)
b)en déduire que f’(Xo)=f(Xo)f’(0)
c)donner la forme générale de f

@armyonceblinks-kpop Bonjour, (Marque de politesse à ne pas oublier !!)

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.

si $x = 0$ et $y$ différent de 0, f(y)=f(0)f(y),
soit f(y)(f(0)-1)= 0,
....

Bonjour,

Autre méthode pour la 1) si tu le souhaites @armyonceblinks-kpop

Tu peux donner à x et y les valeurs 0 :
$f (0 + 0) = f (0) f (0)$ <=> $f(0)=[f(0)]^2$
En transposant $f(0)-[f(0)]^2=0$
En factorisant : $f (0) [1 - f (0)] = 0$ d'où les deux valeurs proposées pour $f (0)$

Comme te l'indique Noemi, essaie de poursuivre et reposte si besoin.

Bonjour,

@armyonceblinks-kpop a dit dans Mathématiques exercice :

Soit f une fonction définie sur |R telle que pour tous réels x,y, f(x+y)=f(x)f(y). On admet que f est dérivable dans |R
1Montrer que f(0)=0 ou f(0)=1
2)Montrer que pour tout réel x f(x)>=0( on pourra remarquer que x=x/2 +x/2)
3)montrer que pour tout réel x f’(x)=f(0)f’(x)
4)en déduire que si f(0)=0 alors pour tout réel x f(x)=0
5)on fixe x et on pose x=Xo on suppose f(0)=1
a) montrer que f’(y+ Xo)=f(Xo)f’(y)
b)en déduire que f’(Xo)=f(Xo)f’(0)
c)donner la forme générale de f

@armyonceblinks-kpop , pour te faire une idée sur le sujet, tu peux commencer par consulter ici :
https://www.youtube.com/watch?v=L2GmWXk6sPA

Pour le cas $f (0) = 1$ , observe la seconde méthode qui aboutit à une équation différentielle de la forme $y^{'} = a y$ qui fait partie de ton programme de Terminale et qui correspond à la conclusion de ton exercice.

Bien sûr, reposte si tu as besoin.

Bon travail .

@mtschoon merci

@Noemi oui je n’oublierai plus à l’avenir

De rien @armyonceblinks-kpop
J'espère que tu as compris toute la démarche.

Comme te l'a dit @Noemi (modératrice), ici la politesse est demandée pour conserver de la convivialité entre tous les participants.

Bonne journée.

@mtschoon oui j’ai bien compris

@armyonceblinks-kpop je n’ai pas réussi à poursuivre je me suis embrouillé de nombreuses fois

@armyonceblinks-kpop, bonsoir,

Vu l'heure, c'est trop tard, mais demain, je te ferai une petite synthèse de l'exercice.

Bonjour,

Quelques pistes,

Pour la 1), je pense que les indications indiquées en début de topic suffisent.

Por la 2), l'indication est donnée dans la question
$f(x)=f(x2+x2)=f(x2).f(x2)=[f(x2)]2f(x)=f(\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2})=f(\dfrac{x}{2}).f(\dfrac{x}{2})=[f(\dfrac{x}{2})]^2$
Un carré de nombres réels étant posit (au sens large), tu tires la conclusion.

Pour la 3)
$f (x + 0) = f (x) . f (0)$ c'est à dire $f (x) = f (x) . f (0)$
$f (0)$ étant une constante, en dérivant chaque membre de l'égalité, tu dois obtenir $f^{'} (x) = f^{'} (x) . f (0)$

Pour la 4) on est dans le cas où $f(0)=0\boxed{f(0)=0}$
L'énoncé demande une déduction.
Au lieu de passer par le dérivée, le plu simple est d'utiliser :
$f (x) = f (x) . f (0)$
En remplaçant $f (0)$ par $0$ , tu obtiens : $f (x) = 0$ , pour tout $x$ réel.
Dans ce cas , $f$ est l'application identiquement nulle.

@mtschoon merci

De rien @armyonceblinks-kpop ,

Je te mets quelques pistes pour la question 5)

Pour la 5) on est dans le cas où $f(0)=1\boxed{f(0)=1}$
La méthode proposée pour arriver à la forme générale de $f$ est assez lourde. Elle aurait pu être trouvée plus simplement, mais bien sûr, il faut utliser la méthode demandée.

a) $f(x_0+y)=f(x_0).f(y)$

On dérive chaque membre de l'égalité en fonction de la variable $y$
Pour dériver $f(x_0+y)$ , on utilise la dérivée d'une fonction composée.

La dérivée de $f(x_0+y)$ est $f'(x_0+y).(x_0+y)'= f'(x_0+y).(0+1)= f'(x_0+y)$

$f(x_0)$ étant une constante , la dérivée de $f(x_0).f(y)$ est $f(x_0).f'(y)$

On a donc l'égalité : $f'(x_0+y)=f(x_0).f'(y)$

b) en remplaçant $y$ par $0$ dans l'égalité trouvée au a), on obtient $f'(x_0)=f(x_0).f'(0)$

c) On peut déduire du b), que pour tout x réel : $f′(x)=f(x).f′(0)\boxed{f'(x)=f(x).f'(0)}$

Avec d'autres notations, tu dois reconnaître une équation différentielle usuelle de ton programme de Terminale : pour $y^{'} = a y$ , on obtient $y=Ce^{ax}$ avec $C$ constante réelle.
Ici, cela donne : $f(x)=Ce^{f'(0)x}$
On peut déterminer la valeur de $C$ avec la condition initiale
Pour $x = 0$ : $f(0)=Ce^{f'(0). 0}$ , c'est à dire $1 = C$

La forme générale de f est donc :
Pour tout $x$ réel : $f(x)=e^{f'(0)x}$ , c'est à dire $f(x)=e^{ax}$ , avec $a = f^{'} (0)$

@armyonceblinks-kpop , regarde tout ça de près, demande si tu as des difficultés et surtout refais tout cet exercice seul(e) pour être sûr de bien le maîtriser.

Bon travail !