asymptotes fonction f(x) = x racine de (x-1/x+1)


  • yasmine_afk

    Bonjour,je suis occupée à refaire un examen de maths que je vais devoir repasser et j'ai besoin d'aide pour un exercice sur la fonction f(x) = x racine de (x-1/x+1) et j'ai besoin d'aide pour définir les asymptotes de cette fonction svp


  • N
    Modérateurs

    @yasmine_afk Bonjour,

    Quel est le domaine de définition de cette fonction ?
    Comment détermine t'on les asymptotes d'une fonction ?


  • yasmine_afk

    je sais que le domaine de cette fonction est -1;1 mais en soit ce n'est pas ça qui me bloque. Les asymptotes aussi je sais les faire mais le x devant la racine me perturbe. Je ne sais pas quoi en faire


  • N
    Modérateurs

    @yasmine_afk

    Je suppose que pour le domaine de définition, tu as voulu dire : R−[−1;1[\mathbb{R}- [-1;1[R[1;1[ ?

    Indique tes calculs pour les limites.


  • yasmine_afk

    AV:
    lim tendant vers -1: -1raccarré (-1) -1/-1+1= -1rac-2/0 = +- l'infini donc A.V en -1
    lim tendant vers 1: 1rac (1)-1/1+1= 1rac0/2 = pas d'A.V en 1

    AH: y'en a pas
    A.O: lim tendant vers +- l'infini
    m: xrac x-1/X+1/x
    et de là je bloque. Fin je sais que mon raisonnement est faux.


  • mtschoon

    Bonjour,

    @yasmine_afk, je regarde un peu tout ça,

    Sans parenthèses, l'expression que tu donnes n'est pas bien écrite en texte.
    Si possible, écris correctement en Latex :
    f(x)=xx−1x+1f(x)=x\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}f(x)=xx+1x1 ; c'est visiblement ce que tu voulais écrire.

    J'espère @yasmine_afk que tu as fait l'étude soignée de la fonction pour savoir où il faut que tu cherches les asymptotes éventuelles.

    Comme te l'a indiqué @Noemi , l'ensemble de définition que tu donnes n'est pas bon
    Df=]−∞,−1[∪[1,+∞[D_f=]-\infty,-1[\cup [1,+\infty[Df=],1[[1,+[ (regarde bien les crochets)

    Pour avoir une asymptote possible, il faut avoir une branche infinie.
    111 apartient à DfD_fDf.
    f(1)=0f(1)=0f(1)=0
    Pas de branche infinie donc à forciori, pas d'asymptote

    lim⁡x→−1(x<−1)f(x)=−∞\boxed{\displaystyle \lim_{x\to -1 (x\lt -1)}f(x)=-\infty}x1(x<1)limf(x)=
    La droite d'équation x=−1x=-1x=1 est donc asymptote "verticale" à la courbe.
    Revois ce que tu as indiqué dans ton explication, car il ne faut pas remplacer xxx par −1-11 mais il faut faire tendre xxx vers -1 (par valeurs inférieures à -1, vu l'ensemble de définition)


  • mtschoon

    @yasmine_afk, je t'indique une réponse possible lorsque xxx tend vers +∞+\infty+ (et tu pratiques de même pour −∞-\infty)

    lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\inftyx+limf(x)=+ donc possibilité d'une asymptote oblique d'équation y=ax+by=ax+by=ax+b

    lim⁡x→+∞f(x)x=1\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=1x+limxf(x)=1 (facile à trouver) donc a=1a=1a=1

    Ensuite, tu dois chercher lim⁡x→+∞[f(x)−ax]\displaystyle \lim_{x\to +\infty}[f(x)-ax]x+lim[f(x)ax]
    Si cette limite est un réel bbb, l'équation de l'asymptote oblique sera y=ax+by=ax+by=ax+b

    (j'espère que cette propriété est dans ton cours)

    On cherche donc lim⁡x→+∞[f(x)−x]\displaystyle \lim_{x\to +\infty}[f(x)-x]x+lim[f(x)x]
    Si tu ne te trompes pas , tu dois trouver b=−1b=-1b=1 donc asymptote oblique d'équation y=x−1y=x-1y=x1 lorsque xxx tend vers +∞+\infty+

    Cette limite n'est pas si facile que ça à trouver, car suivant les transformations, on peut tomber sur une indétermination.

    Je te suggère d'utiliser le conjugué de l'expression (tu multiplies numérateur et dénominateur par l'expression (xx−1x+1+x)(x\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}+x)(xx+1x1+x) et d'utiliser l'identité remarquable (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b)=a^2-b^2(ab)(a+b)=a2b2

    Je te mets quelques détails de calcul mais ce serait trop long de tout écrire.
    A toi de faire tous les calculs.

    f(x)−x=xx−1x+1−xf(x)-x=x\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}-xf(x)x=xx+1x1x

    f(x)−x=(xx−1x+1−x)(xx−1x+1+x)xx−1x+1+xf(x)-x=\dfrac{(x\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}-x)(x\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}+x)}{x\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}+x}f(x)x=xx+1x1+x(xx+1x1x)(xx+1x1+x)

    f(x)−x=x2(x−1x+1)−x2xx−1x+1+xf(x)-x=\dfrac{x^2(\dfrac{x-1}{x+1})-x^2}{x\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}+x}f(x)x=xx+1x1+xx2(x+1x1)x2

    Après calculs, simplifications, tu dois arriver à :
    f(x)−x=−2x2(x+1)(xx−1x+1+x)f(x)-x=\dfrac{-2x^2}{(x+1)(x\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}+x)}f(x)x=(x+1)(xx+1x1+x)2x2

    En simplifiant numérateur et dénominateur par x2x^2x2, tu dois arriver à :
    f(x)−x=−2(1+1x)(x−1x+1+1)f(x)-x=\dfrac{-2}{(1+\dfrac{1}{x})(\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}+1)}f(x)x=(1+x1)(x+1x1+1)2

    En prenant la limite en +∞+\infty+

    lim⁡x→+∞[f(x)−x]=−22=−1\displaystyle \lim_{x\to +\infty}[f(x)-x]=\dfrac{-2}{2}=-1x+lim[f(x)x]=22=1 donc b=−1b=-1b=1

    D'où asymptote oblique d'équation y=x−1\boxed{y=x-1}y=x1

    Pour yyy tendant vers −∞-\infty, tu dois trouver la même asymptote.

    Bon travail.

    Je te joins une représentation graphique.


  • mtschoon

    asymptotes.jpg

    La coube est en bleu
    l'asymptote verticale est en rouge
    l'asymptote oblique est en vert.


  • mtschoon

    @yasmine_afk, si tu as besoin d'un cours sur le asymptotes, tu peux regarder là :

    https://www.ukonline.be/cours/math/basehigher-summary/chapitre12-2


  • yasmine_afk

    @mtschoon Merci milles fois pour vos explications ça m'aide énormément !!
    Je refaire attentivement toutes les étapes moi-même.
    Bonne soirée à vous.


  • B

    Bonjour,

    Il fut un temps où écrire f(x) = x racine de (x-1/x+1) comme identique à f(x)=x.x−1x+1f(x) = x.\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}f(x)=x.x+1x1 était synonyme d'un carton rouge immédiat.

    Maintenant, plus personne n'y fait attention ... 😞

    Ce que tu as écrit correspond à f(x)=x.x−1x+1f(x) = x.\sqrt{x - \frac{1}{x} + 1}f(x)=x.xx1+1, ce qui est fondamentalement différent.


  • mtschoon

    @yasmine_afk a dit dans asymptotes fonction f(x) = x racine de (x-1/x+1) :

    @mtschoon Merci milles fois pour vos explications ça m'aide énormément !!
    Je refaire attentivement toutes les étapes moi-même.
    Bonne soirée à vous.

    @yasmine_afk . de rien !

    Effectivement, tu dois refaire toutes les étapes pour être sûr de maîtriser.

    Bon courage pour ton examen 🙂


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