Mathématiques terminal suite

Bonjour,
√n+1 - √n minoree par 0 et majorée par 1
Comment le montrer?

Merci d'avance de votre aide.

Tu parles desuite, alors je suppose que n est un naturel
$n≥0n\ge 0$

Piste : transforme l'expression en utilisant son conjugué :
multiplie numérateur et dénominateur par $(n+1+n)(\sqrt{n+1}+\sqrt n)$

Je détaille un peu :

$n+1−n=(n+1−n)(n+1+n)n+1+n\sqrt{n+1}-\sqrt n=\dfrac{(\sqrt{n+1}-\sqrt n)(\sqrt{n+1}+\sqrt n)}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}$

Tu reconnais une identité remarquable au numérateur (c'est le but)
$n+1−n=(n+1−n)(n+1+n)n+1+n\sqrt{n+1}-\sqrt n=\dfrac{(n+1-n)(\sqrt{n+1}+\sqrt n)}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}$

$n+1−n=(n+1−n)n+1+n\sqrt{n+1}-\sqrt n=\dfrac{(n+1-n)}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}$

$n+1−n=1n+1+n\sqrt{n+1}-\sqrt n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}$

Avec cette expression, tu ne dois pas avoir de difficuté pour tirer les conclusions, sinon reposte.

@mtschoon comment est ce que je conclus?

@hugo-mt_22 , c'est assez simple.

Pistes à expliciter :

Pour $n∈Nn\in N$ , l'expression $1n+1+n\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}$ a son dénominateur et son dénominateur strictement positifs, donc elle est strictement positive donc cette expression est minorée par 0

Pour $n∈Nn\in N$ , $n+1+n≥1\sqrt{n+1}+\sqrt n\ge 1$
donc $1n+1+n≤1\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\le 1$
donc cette expression est majorée par 1