Récurrence avec une factorielle

Binjour, S il vous plaît j ai un devoir aidez moi à montrer par récurrence avec une facrorielle exemple: -5n n!/(5x+3)°exposant n+1.
Merci!!!!
Et pourquoi 0,Q,1 font partis de l ensemble :Q√2???

@vnll Bonjour,

Ecris la totalité de l'énoncé de l'exercice et tu obtiendras des pistes de résolution.

Bonjour,

@vnll , comme te l'indique @Noemi , ton énoncé, tel que tu l'indiques, n'a guère de sens...

Au regard de ton précédent topic, (https://forum.mathforu.com/topic/32999/fonction-n-ieme-dun-polynôme-de-degré-3) il doit s'agir de la dérivée nième d'une fonction f que tu ne donnes pas !

$f(n)(x)=(−5)n.n!(5x+3)n+1f^{(n)}(x)=\dfrac{(-5)^n.n!}{(5x+3)^{n+1}}$

Bien sûr, sans connaître la fonction $f$ (que l'on dérive $n$ fois), on ne peut rien faire...

@vnll , je crois avoir deviné la fonction $f$ qu'il faut dériver $n$ fois.

$f(x)=15x+3\boxed{f(x)=\dfrac{1}{5x+3}}$
(cela doit être écrit sur l'énoncé de ton manuel)

Condition d'existence et de dérivabilité : $x≠−35x\ne \dfrac{-3}{5}$

Tu dois donc démontrer, par récurrence, que pour tout naturel $n$ non nul, la dérivée nième vaut :
$f(n)(x)=(−5)n.n!(5x+3)n+1f^{(n)}(x)=\dfrac{(-5)^n.n!}{(5x+3)^{n+1}}$

Bien sûr, cela nécessite la connaissance des dérivées usuelles .
@vnll si tu n'es pas sûr de tes connaissances, regarde bien ton cours avant .

Initialisation pour $n = 1$

Il faut vérifier que : $f(1)(x)=(−5)1.1!(5x+3)2f^{(1)}(x)=\dfrac{(-5)^1.1!}{(5x+3)^{2}}$
Vu que $5)^1=-5$ et que $1! = 1$ , il faut vérifier que :
$f(1)(x)=−5(5x+3)2f^{(1)}(x)=\dfrac{-5}{(5x+3)^{2}}$

Vérification :
$f^{(1)}$ est la dérivée (première) de f . On peut la noter de façon usuelle $f^{'}$

J'ignore ce que contient ton cours sur les dérivées...
Formule possible :
U étant une fonction de x de dérivée $U^{'}$ , la dérivée de $1U\dfrac{1}{U}$ est $−U′U2\dfrac{-U'}{U^2}$
Ainsi $f(x)=15x+3f(x)=\dfrac{1}{5x+3}$
$U (x) = 5 x + 3$ donc $U^{'} (x) = 5$

Donc $f(1)(x)=f′(x)=−5(5x+3)2f^{(1)}(x)=f'(x)=\dfrac{-5}{(5x+3)^2}$

CQFD

Hérédité ( on dit aussi transmission)

On suppose que pour $n≥1n\ge 1$ , la formule à l'ordre $n$ est :
$f(n)(x)=(−5)n.n!(5x+3)n+1f^{(n)}(x)=\dfrac{(-5)^n.n!}{(5x+3)^{n+1}}$

Il faut prouver que cette formule est vraie à l'ordre $n + 1$ , c'est à dire que : $f(n+1)(x)=(−5)n+1.(n+1)!(5x+3)n+2f^{(n+1)}(x)=\dfrac{(-5)^{n+1}.(n+1)!}{(5x+3)^{n+2}}$

Piste de démonstration,

$f^{(n+1)}$ est la dérivée (première) de $f^{(n)}$

$f(n+1)(x)=((−5)n.n!(5x+3)n+1)′f^{(n+1)}(x)=\biggr(\dfrac{(-5)^n.n!}{(5x+3)^{n+1}}\biggr)^{\prime}$

On isole ce qui est indépendant de $x$ :

$f(n+1)(x)=(−5)n.n!×(1(5x+3)n+1)′f^{(n+1)}(x)=(-5)^n.n!\times \biggr(\dfrac{1}{(5x+3)^{n+1}}\biggr)^{\prime}$

Pour dériver $1(5x+3)n+1\dfrac{1}{(5x+3)^{n+1}}$ en utilisant la même formule que pour l'initialisation :

$U(x)=(5x+3)^{n+1}$ d'où
$U'(x)=(n+1)(5x+3)^{n}(5)$

donc :

$f(n+1)(x)=(−5)n.n!×−(n+1)(5x+3)n(5)((5x+3)n+1)2f^{(n+1)}(x)=(-5)^n.n!\times \dfrac{-(n+1)(5x+3)^{n}(5)}{((5x+3)^{n+1})^2}$

$f(n+1)(x)=(−5)n.n!×(−5)(n+1)(5x+3)n(5x+3)2n+2f^{(n+1)}(x)=(-5)^n.n!\times \dfrac{(-5)(n+1)(5x+3)^{n}}{(5x+3)^{2n+2}}$

Il reste à simplifier un peu tout ça.

$(−5)n×(−5)=(−5)n+1(-5)^n\times (-5)=(-5)^{n+1}$
$n!×(n+1)=(n+1)!n!\times (n+1)=(n+1)!$
$(5x+3)n(5x+3)2n+2=1(5x+3)2n+2−n=1(5n+3)n+2\dfrac{(5x+3)^{n}}{(5x+3)^{2n+2}}=\dfrac{1}{(5x+3)^{2n+2-n}}=\dfrac{1}{(5n+3)^{n+2}}$

Au final :

$f(n+1)(x)=(−5)n+1.(n+1)!××1(5n+3)n+2f^{(n+1)}(x)=(-5)^{n+1}.(n+1)!\times \times \dfrac{1}{(5n+3)^{n+2}}$

$f(n+1)(x)=(−5)n+1.(n+1)!(5x+3)n+2f^{(n+1)}(x)=\dfrac{(-5)^{n+1}.(n+1)!}{(5x+3)^{n+2}}$

CQFD.

Regarde tout ça de près et essaie de refaire l'exercice seul pour t'entrainer (car c'est ton but, si j'ai bien compris ; ce n'est pas un exercice demandé par ton professeur).

Une remarque @vnll ,

@ la dernière ligne de ta question est :
@vnll a dit dans Récurrence avec une factorielle :

Et pourquoi 0,Q,1 font partis de l ensemble :Q√2???

Cela n'a visiblement rien à voir avec la récurrence souhaitée.

Ici ; un exercice=un topic.

Ouvre un autre topic si tu le souhaites et exprime toi correctement pour que l'on puisse comprendre de quoi il s'agit.
Peut-être (?) que ce que tu appelles $Q2Q\sqrt 2$ est l'ensemble des réels de la forme $a+b2a+b\sqrt 2$ , avec a et b appartenant à $Q$ , mais il faudra le préciser.

@mtschoon bonsoir, merci bien! j ai très bien compris et la prochaine fois j essayerai de mieux reformuler mes questions; et je vais les refaire moi même. Merci encore !

C'est parfait @vnll si tu as très bien compris.
Oui, refaire toi même sera le meilleur des entraînements.

Bon travail !