Equation tangente et position relative de la courbe

[nathan_n]

Non mais il y a un second exercice (que j'ai réussi) mais sur lequel j'ai un doute:
Exercice 2 :

1. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction racine carrée au point d’abscisse 4.
2. Étudier la position relative de la courbe représentative de la fonction racine carrée par rapport à cette tangente

1. f'(4)(x-4)+f(4)=(1/4)x+1 là je suis sûr de moi

2. Là je pense qu'il faut faire f(x)-((1/4)x+1 )=√𝑥-(1/4)x-1
   Et ensuite il faut étudier le signe de cette expression mais je ne suis pas sûr.

[Noemi]

@nathan_n

Pour un second exercice, il faut proposer un autre sujet. Je vais déplacer ces messages.

Les résultats sont corrects. Etudie le signe de l'expression.

[nathan_n]

Merci. Mais je n'arrive pas à déterminer le signe de √𝑥-(x/4)-1. Il suffit de résoudre une simple inéquation mais je ne sais pas pourquoi je ne parviens pas à isoler x. A moins de séparer √𝑥 et -(x/')-1 puis de faire le tableau de signe. Dans ce cas là, l'expression > 0 sur [0;+oo]

[Noemi]

@nathan_n

Etudie les variations de la fonction $g(x)=\sqrt{x}-\frac{x}{4}-1$

[nathan_n]

Après avoir longtemps cherché, je ne trouve pas la solution. J'ai l'impression que c'est tout simple mais je n'y arrive pas.

[Noemi]

@nathan_n

As-tu calculé la dérivée : $g^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{4}=\frac{2-\sqrt{x}}{4\sqrt{x}}$ ?
Tu étudies le signe de la dérivée : + 0 -
puis les variations de la fonction : croissante puis décroissante.
Les limites de cette fonction montrent que la fonction est .....
Tu conclus.

[nathan_n]

D'accord.
Donc après calculs on a la tangente qui est au dessus de Cf sur ]-oo;0[U]4;+oo[ et en dessous de Cf sur ]0;4]
C'est ça ?

[Noemi]

@nathan_n

Non,
La fonction n'est définie que sur l'intervalle $[0;+\infty [$ et la fonction dérivée sur $]0;+\infty [$
Sur l'intervalle $[0;4[$, $g(x)$ varie de -1 à 0 et
$g(4)=0$
sur l'intervalle $]4;+\infty [$, $g(x)$ varie de 0 à $-\infty$;
Conclusion $g(x)\le 0$
d'ou la tangente est toujours au dessus de $C_f$.

[mtschoon]

Bonjour,

Illustration graphique.
La courbe est en rouge
La tangente en A(4,2) est en bleu

[nathan_n]

D'accord. Merci à tous pour vos réponses !
Bonne soirée.