Démonstration par récurrence
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lol mdr dernière édition par
bonjour,
j'ai un exercice à faire mais je ne parviens pas à conclure voici le problème:
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
0! + 1! + 2! + ... + n! ≤ (n + 1)!
je dois donc prouver par héredité que 0! + 1! + 2! + ... + (n+1)! ≤ (n + 2)!
or après avoir additionné de chaque coté (n+1)! je trouve :
0! + 1! + 2! + ... + (n+1)! ≤ 2(n + 1)!
je ne parviens donc pas à conclure puisque 2(n+1) est différent de (n+2)
je vous remercie par avance de votre aide
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@lol-mdr Bonjour,
Une vidéo : https://www.youtube.com/watch?v=w6_J-XMc1g8
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lol mdr dernière édition par
bonjour, j'ai déja vu cette vidéo et je l'ai déjà comprise mais je ne parviens toujours pas à resoudre mon problème pourriez vous m'éclairer davantage
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La vidéo correspond à la solution de l'exercice.
Indique ce que tu ne comprends pas.
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lol mdr dernière édition par
non desolé je me suis trompé vous avez raison j'ai compris.
merci beaucoup!
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Une remarque :
(n+2)!=(n+2)(n+1)!(n+2)!=(n+2)(n+1)!(n+2)!=(n+2)(n+1)!
donc si tu compares (n+2)!(n+2)!(n+2)! avec 2(n+1)!2(n+1)!2(n+1)! tu peux conclure.
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lol mdr dernière édition par
Bonjour, jai pris en compte votre remarque et je me demandais si après avoir montré que:
(n+2)!<2(n+1)! en ayant par exemple remplacé n par une valeur(j'ai remplacé par 2)
je pouvais écrire:
0! + 1! + 2! + ... + (n+1)! ≤ (n + 2)!
je ne suis pas sure que cette écriture soit correcte
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mtschoon dernière édition par mtschoon
Bonjour,
@lol-mdr , vu que tu as encore une question et que je passe par là, en attendant que Noemi soit là, je regarde un peu l'hérédité de cette démonstration, mais je n'ai pas pris le temps de regarder la vidéo, alors je ne sais pas trop comment c'est expliqué.
Hypothèse de l'hérédité :
0!+...+n!≤(n+1)!0!+...+n!\le (n+1)!0!+...+n!≤(n+1)!
Conclusion à prouver :
0!+...+n!+(n+1)!≤(n+2)!0!+...+n!+(n+1)!\le (n+2)!0!+...+n!+(n+1)!≤(n+2)!Piste de la démonstration
En ajoutant (n+1)!(n+1)!(n+1)! à chaque membre de la formule de l'hypothèse de l'hérédité :
0!+...+n!+(n+1)!≤(n+1)!+(n+1)!0!+...+n!+(n+1)! \le (n+1)!+(n+1)!0!+...+n!+(n+1)!≤(n+1)!+(n+1)!
0!+...+n!+(n+1)!≤2(n+1)!0!+...+n!+(n+1)! \le 2(n+1)!0!+...+n!+(n+1)!≤2(n+1)!Reste à trouver que : 2(n+1)!≤(n+2)!2(n+1)!\le (n+2)!2(n+1)!≤(n+2)!
Preuve :
2≤n+22\le n+22≤n+2 donc, en multipliant par (n+1)!(n+1)!(n+1)! , on obtient 2(n+1)!≤(n+1)!(n+2)2(n+1)!\le (n+1)!(n+2)2(n+1)!≤(n+1)!(n+2)
Vu que (n+1)!(n+2)=(n+2)!(n+1)!(n+2)=(n+2)!(n+1)!(n+2)=(n+2)!, on obtient :
2(n+1)!≤(n+2)!2(n+1)!\le (n+2)!2(n+1)!≤(n+2)!Vu que 0!+...+n!+(n+1)!≤2(n+1)!0!+...+n!+(n+1)! \le 2(n+1)!0!+...+n!+(n+1)!≤2(n+1)!
on obtient au final : 0!+...+n!+(n+1)!≤2(n+1)!≤(n+2)!0!+...+n!+(n+1)! \le 2(n+1)!\le (n+2)!0!+...+n!+(n+1)!≤2(n+1)!≤(n+2)!La relation "≤\le≤" est transitive
( ce qui veut dire que a≤b≤ca\le b\le ca≤b≤c => a≤ca\le ca≤c)
Donc, ici, on peut conclure que :
0!+...+n!+(n+1)!≤(n+2)!0!+...+n!+(n+1)!\le (n+2)!0!+...+n!+(n+1)!≤(n+2)!CQFD
J'espère avoir répondu à ta dernière question, sinon reposte.
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lol mdr dernière édition par
merci beaucoup j'ai tout compris
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mtschoon dernière édition par mtschoon
C'est très bien @lol-mdr d'avoir tout compris mais supprimer ton message de départ contenant l'énoncé (après avoir eu toutes les aides utiles) n'est pas bien du tout !
Cela empêche ceux qui voudraient utiliser ce topic pour apprendre et progresser, de le faire.
Je mets la question (heureusement, elle est courte) :
Je ne me souviens pas de la formulation précise de l'énoncé...Démontrer par récurrence que, pour tout nnn de N∗N^*N∗:
1!+2!+...+n!≤(n+1)!\boxed{1!+2!+...+n!\le (n+1)!}1!+2!+...+n!≤(n+1)!
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mtschoon dernière édition par
Merci pour la restitution de l'énoncé de ce topic
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Tout le plaisir est pour moi
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mtschoon dernière édition par
