Congruence et équation du second degré

Bonjour à tous et bon week-end au passage,

j'envoi ce message car je peine un peux à résoudre cet exercice pourrai-je avoir un peu d'aide svp?:
On admet qu'un nombre entier p divise le produit ab si et seulement si p divise a ou b.
Résoudre dans Z, x² -2x+2 = 0[17] .
Je vous avoue que je ne sais pas à quoi sert ce rappel de propriété, mais j'ai tenté de résoudre l'équation, je pense que les solutions sont ici les multiple de 17, c'est a dire x =5, x= 14 etc...
Mais je n'en suis pas sûr.

@Marvin Bonjour,

5 et 14 sont bien des solutions de l'équation mais 5 et 14 ne sont pas des multiples de 17.
Une piste, tu peux résoudre l'équation : $x^2-2x+2= 17k$

@Noemi D'accord merci pour le conseil, k est un entier ici ok ok

Bonjour,

@Marvin, je reste perplexe sur ton énoncé...j'ai un doute...

J'ignore si tu es arrivé à résoudre cette équation...
$x^2 -2x+2 = 0[17]$

La méthode usuelle consiste à faire un tableau des restes ;
Ainsi tu fais une ligne pour $x$ , une ligne pour $x^2$
une ligne pour $2 x$ , une ligne pour $x^2 -2x+2$ et tu tires la conclusion.

Mais , vu que $17$ est premier, on ne peut pas faire plus simple.

Cela fait 17 colonnes vu que tu travailles modulo 17 donc pour $x$ les restes vont de $0$ à $16$ .
C'est un gros tableau et de plus, le conseil donné dans l'énoncé ne sert à rien...

Si tu avais par exemple à résoudre : $x^2 -2x+2 = 0[15]$ , là, ça serait bien : $15=3×515=3\times5$

l'équation ainsi proposée serait équivalente à
$x^2 -2x+2 = 0[3]$ ou $x^2 -2x+2 = 0[5]$

Tu aurait ainsi deux petits tableaux de restes à faire et tu terminerais en faisant la conjonction des cas.

Voilà ma réflexion.

Bonjour et merci beaucoup pour ton aide mtschoon, à vrai dire je n'ai pas réussi à résoudre l'équation mais oui j'avais vu cette méthode avec le tableau de reste, j'étais un peu rouillé mais ça reviendra. Je pense aussi que le conseil donné est inutile.
Merci encore pour tout et bon week-end à toi!

@Marvin

Une autre méthode écrire l'équation sous la forme :
$x-1)^2+1=0 [17]$ soit $x-1)^2=16 [17]$ .

Bon week-end à toi @Marvin

Oui , le conseil donné était inutile pour faire un tableau de restes, mais utile en en faisant deux, lorsque l'énoncé s'y prête...