démonstration par récurrence

[thestraw0]

Bonjour pouvez vous m'aider svppppppppp

merci

Soit (vn) la suite définie par v0=4 et v(n+1)=2vn-7, avec n∈N.
Démontrer par récurrence, que vn=7-3×2^n, avec n∈N.

[Noemi]

@thestraw0 Bonjour,

Indique tes éléments de réponse.
As tu vérifié la relation pour $n=0$ ?

[thestraw0]

je n'ai pas d'élément de reponse mais V1=1

[Noemi]

@thestraw0

Tu peux calculer $v_0$.

Regarde cette vidéo (ou ton cours)et propose tes éléments de réponse.
https://www.youtube.com/watch?v=udGGlHdSAgc

[mtschoon]

Bonjour,

@thestraw0 , j'espère que tu as assimilé ton cours ainsi que la vidéo proposée par @Noemi.

Je t'indique quelques pistes ,

Initialisation Il faut justifier que la propriété est vraie pour n=0

Tu dois t'assurer que $V_0=7-3\times 2^0$

Vu que $2^0=1$,
$7-3\times 2^0=7-3\times 1=7-3=4=V_0$

L'initialisation est donc exacte.

Hérédité (on dit aussi transmission)

A un ordre $n$ de $N$, tu supposes que : $V_n=7-3\times 2^n$

Il faut prouver que la propriété est vraie à l'ordre $(n+1)$, c'est à dire que : $V_{n+1}=7-3\times 2^{n+1}$

Démonstration de l'hérédité :

Par hypothèse (de ton énoncé) : $V_{n+1}=2V_n-7$

Dans cette formule, tu remplaces $V_n$ par $7-3\times 2^n$

Cela te donne : $V_{n+1}=2(7-3\times 2^n)-7$

Maintenant tu transformes cette expression de $V_{n+1}$ et tu dois arriver à $V_{n+1}=7-3\times 2^{n+1}$

J'espère que tu vas arriver à faire cette transformation.
Bon calcul.

Reposte si besoin.