Dérivée Seconde et variation de fonction

[Thibault Perrin]

Bonjour/ Bonsoir à toutes et à tous !
Je me permets de poster sur ce forum pour une petite question sur un exercice de maths qui me pose problème (je suis en fac de maths Eco)...

Je dois étudier les variations de g(x) et la convexité de celle-ci à partir de la courbe de g(x) seconde sur un intervalle... J'ai pour seule information en plus de cette courbe que g'(-1)=0
Aucun problème pour la convexité c'est du cours en fonction du signe de la dérivée seconde
Mais pour ce qui est de l'étude de fonction...
Je me suis fait un petit tableau et j'ai réussi à en déduire que g(x) était croissante sur -2 ; 1 grâce aux variations de la dérivée que l'on peut obtenir avec la dérivée seconde.
Mais pour le reste de l'intervalle... Je n'ai aucune idée de comment je peux trouver si la dérivée est positive ou négative pour avoir les variations de g... (j'ai juste les variations de la dérivée ce qui ne mène pas à grand-chose...)
Merci d'avance à ceux qui prendront du temps pour m'éclairer sur la question ^^ (si vous savez comment faire pas besoin de vous déranger à faire tout l'exercice je trouverai par moi-même pour le reste mais je suis à court d'idées pour résoudre le problème là...)
PS: je vous donne l'énoncé ça peut aider !
[https://zupimages.net/viewer.php?id=22/39/poby.jpg]
Merci et bonne soirée à tous !

[Noemi]

@Thibault-Perrin Bonjour,

Vérifie le calcul des bornes de l'intervalle pour la croissance de $g(x)$.

[Thibault Perrin]

Bonjour,
tout d'abord merci pour la réponse !
C'est à dire le calcul des bornes de l'intervalle ?
Je n'ai aucune fonction donc je ne peux pas faire de calcul... j'ai juste la fonction seconde (comme sur l'image)
Merci d'avance

[Noemi]

@Thibault-Perrin

Attention : les scans de l'énoncé de l'exercice sont interdit sur ce forum. Seul les scans de schémas, figures ou graphiques sont autorisés.
Recopie l'énoncé.

Ma question portait sur l'indication :
Je me suis fait un petit tableau et j'ai réussi à en déduire que g(x) était croissante sur -2 ; 1 grâce aux variations de la dérivée que l'on peut obtenir avec la dérivée seconde.

[Thibault Perrin]

Ah oups désolé...
Bah avec ma dérivée seconde je sais que g'(x) est décroissante sur -2; -1 et croissante sur -1; 1 or g'(-1) = 0 donc c'est le minimum sur l'intervalle -2 ; 1 soit g'(x) supérieur à 0 pour cet intervalle et donc g(x) croissante sur celui-ci. Le problème c'est sur l'intervalle -2.2 ; -2 et 1 ; 1.2 où j'ai l'impression qu'il manque une info...

[Noemi]

@Thibault-Perrin

Une piste :
Rechercher l'expression de la fonction représentée $f^{\prime \prime }(x)$, puis celle de la fonction dérivée $f^{\prime }(x)$.

[Black-Jack]

@Thibault-Perrin a dit dans Dérivée Seconde et variation de fonction :

Ah oups désolé...
Bah avec ma dérivée seconde je sais que g'(x) est décroissante sur -2; -1 et croissante sur -1; 1 or g'(-1) = 0 donc c'est le minimum sur l'intervalle -2 ; 1 soit g'(x) supérieur à 0 pour cet intervalle et donc g(x) croissante sur celui-ci. Le problème c'est sur l'intervalle -2.2 ; -2 et 1 ; 1.2 où j'ai l'impression qu'il manque une info...

Bonjour,

Il ne manque pas d'info, il faut "comparer" les surfaces des aires entre la courbes de g''(x) et l'axe des abscisses pour différents intervalles de x et grâce à la valeur de g'(1) ... on montre que g'(x) est >= 0 sur tout le domaine de définition.

g'(1) = 0
comme g''(x) <= 0 sur [-2 ; -1] --> g'(x) est décroissante sur cet intervalle.

Et donc des 2 lignes précédentes, on conclut que g'(x) > 0 sur [-2 ; -1[

Comme l'aire entre la courbe de g''(x) et l'axe des abscisses est négative mais de surface supérieure à celle positive pour x dans [-2,2 ; 2] ... g'(x) sera > 0 pour x dans [-2 ; -1[
Et donc g(x) est croissante sur [-2,2 ; -1]

---

g'(1) = 0
comme g''(x) >= 0 sur [-1 ; 1] --> g'(x) est croissante sur cet intervalle.

Et donc des 2 lignes précédentes, on conclut que g'(x) > 0 sur [-1 ; 1]

Comme l'aire entre la courbe de g''(x) et l'axe des abscisses est positive mais de surface supérieure à celle négative pour x dans [1 ; 1,2] ... g'(x) sera > 0 pour x dans [-1 ; 1,2]
Et donc g(x) est croissante sur [-1 ; 1,2]

---

En regroupant les résultats : g'(x) est croissante sur [-2,2 ; 1,2]

---

Il ne faut pas tenter de trouver l'expression de g(x).
La comparaison des aires comme expliqué est tellement parlante qu'on ne peut pas se tromper sur le signe de g'(x) et donc ...

[Thibault Perrin]

Ouahh je n'aurai jamais pensé à ça... Merci !
vous savez où puis-je trouver les différentes règles sur ces études d'aires svp ? (surface 1< surface b donc... etc)
car je comprends un peu mais j'aimerais être sur et pouvoir réutiliser ces connaissances par la suite si nécessaire
merci d'avance

[Black-Jack]

@Thibault-Perrin

Bonjour,

Si on a besoin de la valeur exacte de l'aire ... il faut connaître l'expression de f(x) et faire une intégrale.
Ici, on ne connaît pas l'expression de f(x).

Mais ici, il y a une tellement grande différence entre les aires à comparer que c'est évident visuellement sur le graphe. Il n'en faut pas plus pour répondre aux questions posées dans cet exercice.

[Black-Jack]

@Black-Jack a dit dans Dérivée Seconde et variation de fonction :

En regroupant les résultats : g'(x) est croissante sur [-2,2 ; 1,2]

Attention à corriger ma distraction dans mon avant dernier message.

Il faut remplacer : "En regroupant les résultats : g'(x) est croissante sur [-2,2 ; 1,2]"

Par "En regroupant les résultats : g(x) est croissante sur [-2,2 ; 1,2]"

[Thibault Perrin]

@Black-Jack
Oui mais à aucun moment dans mon cours je n'ai d'information comme quoi si l'intégrale est positive, alors la primitive est positive ou quelque chose du genre... c'est ça que je ne comprends pas (qu'est ce que ça fait d'avoir l'aire qui est positive sur un intervalle mais vu que elle est supérieure à l'air suivante qui elle est négative etc... je n'ai pas les formules et le lien entre signe de l'intégrale et signe de la primitive...)
Cordialement

[mtschoon]

Bonjour à tous,

@Thibault-Perrin , je consulte ton énoncé et le topic.

Effectivement, comme tu l'as fait, avec un tableau pour $g^{\prime \prime },g^{\prime },g$ , on peut conclure que sur l'intervalle [-1,2], $g$ est croissante. C'est très bien.
Il n'y a pas de conclusion possible (avec cette démarche) en dehors de cet intervalle [-1,2] .

Il faut compléter la lecture graphique pour pouvoir étendre la conclusion . Il n'y a guère le choix..

@Noemi t'a proposé de déterminer l'expression de $g^{\prime \prime }(x)$ puis de $g^{\prime }(x)$
Cela ne peut qu'être approximatif...
En admettant par exemple,(ce qui n'est pa sûr), que g''(x) soit un polynôme du 3ème degré, il devrait s'écrire :
$g^{\prime \prime }(x)=a(x+2)(x+1)(x-1)$
Vu l'allure, $a<0$ mais pour trouver $a$, à part "tatonner", on ne peut rien faire.
Et ensuite, calculer $g^{\prime }(x)$ (primitive de $g^{\prime \prime }(x)$ qui s'annule pour $x=-1$) avec une fonction $g^{\prime \prime }$ non exacte, n'est pas satisfaisant...

@Black-Jack t'a proposé une lecture graphique (en comparaison d'aires) mais il faut que tu approfondisses ton cours de Terminale pour comprendre.
A toute fin utile, je te mets un lien à consulter :
https://mathscolbert.pagesperso-orange.fr/taleS/Cours/ch8/integrales.pdf

Remarque : dans le lien, on a toujours $a\le b$ .
dans ton exercice, ce n'est pas toujours le cas.

[mtschoon]

@Thibault-Perrin , je "tente" (!) de te donner quelques indications .

Cas pour $x\in [1;1.2]$ (c'est le plus simple à comprendre)

$I={\int }_{-1}^x{g}^{\prime \prime }(t)dtI=[g^{\prime }(t){]}_{-1}^x=g^{\prime }(x)-g^{\prime }(-1)=g^{\prime }(x)$

I est l'aire algébrique comprise entre l'axe des abscisses et la courbe de $g^{\prime \prime }$

I est composée de 2 termes:$I_1$ et $I_2$
$I_1={\int }_{-1}^1{g}^{\prime \prime }(t)dt$ et $I_2={\int }_1^x{g}^{\prime \prime }(t)dt$

Entre -1 et 1, l'aire $I_1$ est positive (voir l'explication du lien donné)
Entre 1 et x, l'aire, $I_2$ est négative (voir l'explication du lien donné)

$I=I_1+I_2$
Vu que, graphiquement , $|I_1|>|I_2|$on déduit que $I>0$ donc $g^{\prime }(x)>0$ donc $g$ croissante.

Cas pour $x\in [-2.2;-2]$

Même principe
$I={\int }_{-1}^x{g}^{\prime \prime }(t)dtI=[g^{\prime }(t){]}_{-1}^x=g^{\prime }(x)-g^{\prime }(-1)=g^{\prime }(x)$

I est l'aire algébrique comprise entre l'axe des abscisses et la courbe de $g^{\prime \prime }$

I est composée de 2 termes : $I_3$ et $I_4$

$I_3={\int }_{-1}^{-2}{g}^{\prime \prime }(t)dt$ et $I_4={\int }_{-2}^{-2.2}{g}^{\prime \prime }(t)dt$

Entre -1 et -2, l'aire $I_3$ est positive ( vu que la borne inférieure de l'intégrale est plus grande que la borne supérieure de l'intégrale (t varie dans le sens inverse de l'axe des abscisses) et que $g^{\prime \prime }(x)$ est négatif, l'intégrale est positive (- par -=+)

Entre -2 et x, l'aire, $I_4$ est négative (- par +=-)

$I=I_3+I_4$

Vu que, graphiquement , $|I_3|>|I_4|$on déduit que $I>0$ donc $g^{\prime }(x)>0$ donc $g$ croissante.

[mtschoon]

@Thibault-Perrin , essaie de voir cela de près...( tout dépend de tes connaissances préalables et de mes explications pas forcément claires...).

S'il s'agit d'un exercice à rendre, tu choisis la méthode que tu préfères.

Tu peux faire le tableau que te permet de conclure sur [-2,1] et les deux cas complémentaires.
Tu peux aussi faire tout par explication graphique.

Bon courage !

[Thibault Perrin]

Wow j'ai beau avoir eu 20 au bac l'année dernière on avait pas vu les intégrales de manière aussi poussée...
Merci beaucoup après des heures de recherches sur internet je comprends enfin comment il fallait raisonner !
Je vais réviser ça pour le maitriser
Merci encore à vous 3 pour l'aide qui m'a été très utile ^^
Je vous souhaite une agréable soirée !

[mtschoon]

@Thibault-Perrin , c'est très bien si cet exercice te donne l'occasion d'approfondir le calcul intégral.
Cela te servira pour beaucoup d'autres exercices.

Bonne soirée à toi et bon week-end