suites



  • Bonjour, j’ai un petit probleme sur des suite, j’ai ma fonction qui est f(n)=1/2[n+(2/n)] avec u « n »=f(n)

    a)Il faut que je montre que cette suite est croissante strictement à partir de n=2
    b) il faut que je determine la limite de la suite(u«n»)
    c)il faut que je precise(u«n»/n)

    Pour le a),j’ai dit que u«n»=n/2+1/n donc :
    u«n»+1-u«n» = (n+1)/2+1/(n+1)-n/2-1/n = ½+1/(n+1)-1/n
    Mais après je sais que : -u0 est impossible
    -u1=0
    -u2=1/3
    Faut il que je le démontre de cette façon ??

    Et les 2 questions suivantes je ne sais pas du tout comment il faut faire, pouvez vous m’aider svp
    Je vous rassure c’est pas noté mais j’aimerais bien comprendre comment faire merci



  • Pour montrer que UnU_n est croissante il faut étudier le signe de
    Un+1U_{n+1} - UnU_n
    si tu trouves que cette diférence est >0 que pourras tu conclure sur la croissance de UnU_n ? (c'est dans ton cours)

    Tu viens d'étudier f(x) = (1/2)x + (1/x)
    UnU_n = f(n) pour n app/ ININ^*
    donc si tu connais la limite de f(x) pour x réel tendant vers inf/ tu dois bien pouvoir préciser la limite de UnU_n pour n tendant vers inf/

    Caluler UnU_n/n est un simple calcul faisable en 1ère S



  • Pour le a), j'ai donc developper Un+1 - Un

    Un+1 - Un = 1/2+1/(n+1)-1/n = (n²+n-2)/(2n²+2n)
    donc 2n²+2n sera toujours positif

    et n²+n-2= (n+1/2)² - 9/4 avec (n+1/2)² positif et croissant

    donc f(2)=25/4-9/4=4 donc la suite sera bien positive et croissant en n=2

    Pour le b), J'ai fait la limite de la suite Un donc:
    lim Un=lim(1/2 + 1/n)=lim 1/n=+infini donc je peux en conclure que la limite ne s'arrete jamais.

    Pour le c), limUn/n= lim (n/2+2/n)/n= lim (1/2 + 2/n²)=lim 2/n²=0

    Est ce cela??



  • Bonjour je vais redonner l'enoncé! Car je n'arrive pas a faire le d) et e) du II)
    I)
    a)Il faut que je montre que cette suite est croissante strictement à partir de n=2
    b) il faut que je determine la limite de la suite(u«n»)
    c)il faut que je precise(u«n»/n)

    J'ai donc trouvé:

    U(n+1) - U(n) = (1/2).[n+1 +(2/(n+1))] - (1/2).[n+(2/n)]
    = (1/2).[(n+1)²+2]/(n+1) - (1/2).(n²+2)/n
    = (1/2).[n(n²+2n+3)-(n+1).(n²+2)]/[n(n+1)]
    = (1/2).(n³+2n²+3n-n³-2n-n²-2)/[n(n+1)]
    = (1/2).(n²+n-2)/[n(n+1)]
    = (1/2).(n-1)(n+2)/[n(n+1)]

    U(n+1) - U(n) = 0 pour n = 1
    U(n+1) - U(n) > 0 pour n >= 2
    --> La suite Un est strictement croissante à partir de n = 2.

    b)

    lim(n-> +oo) U(n) = lim(n->+oo) (1/2).[n+(2/n)] = +oo

    c)U(n)/n = (1/2).(1+(2/n²))
    U(n)/n = (1/2).(n²+2)/n²

    lim(n-> oo) [U(n)/n] = (1/2).lim(n->oo) [(n²+2)/n²] = 1/2

    II) Soit la suite(Vn) définie sur N* par :

    V0=2
    si n appartient à N*, Vn+1=f(Vn)

    a)préciser sous forme de fraction irreductible les nombres V1,V2 et V3
    b)en utilisant la premiere partie, prouver que :

    • pour tout entier n, on a Vn>0 et racine de 2<Vn

    • pour tout entier n, on a Vn>Vn+1 entraine Vn+1>Vn+2

    En deduire que (Vn) est une suite strictement decroissante

    c) Soit la suite (Wn) définie par: Wn=2/Vn

    -Expliquer pourquoi on peut toujours calculer Wn
    -Calculer les termes W0,W1,W2 et W3 sous forme de fractions irreductible
    -Prouver que la suite (Wn) est strictement croissante et que l'on a Wn<racine de 2<Vn

    d) on note pour tout entier n, Dn=Vn-Wn; prouver que :
    Dn+1=Vn+1-Wn+1<Vn+1-Wn=1/2Dn
    et 0<Dn<1/(2^n)

    En deduire que la suite (Dn) converge vers 0
    Quel est alors la limite de la suite(Vn)?

    e) Quelle est la longueur de l'intervalle[W4;V4]? Commentaire?

    J'ai donc trouvé:

    a)

    f(n)=(1/2)[n+(2/n)]

    V(n+1) = (1/2)[V(n)+(2/V(n))]
    V(0) = 2

    V(1) = (1/2)[V(0)+(2/V(0))] = (1/2)[2+(2/2)] = 3/2
    V(2) = (1/2)[V(1)+(2/V(1))] = (1/2)[(3/2)+(2/(3/2))] =(1/2)[(3/2)+(4/3)] = 17/12
    V(3) = (1/2)[V(2)+(2/V(2))] = (1/2)[(17/12)+(2/(17/12))] = (1/2).[(17/12)+(24/17)] = 577/408

    b)

    V(n+1) - V(n) = (1/2)[V(n)+(2/V(n))] - V(n)
    V(n+1) - V(n) = (1/V(n)) - (1/2).V(n)
    V(n+1) - V(n) = (2-(V(n))²)/(2V(n))

    Si V(n) > 0, alors , comme V(n+1) = (1/2)[V(n)+(2/V(n))] on a V(n+1) > 0
    Comme V(0) > 0 --> tous les termes de Vn sont positifs.
    --> V(n+1) - V(n) a le signe de (2-(V(n))²)

    V(n+1) = (1/2)[V(n)+(2/V(n))] = (1/2)[(2+(V(n))²)/V(n)]

    g(x) = (1/2)[(2+x²)/x] pour x > 0
    g'(x) = (1/2)[(2x²-2-x²)/x²]
    g'(x) = (1/2)[(x²-2)/x²]
    g'(x) = (1/2)[(x-racine(2))(x+racine(2))/x²]
    Comme x > 0, g'(x) a le signe de (x-racine(2))

    g'(x) < 0 pour x dans ]0 ; racine(2)[ --> g(x) est décroissante.
    g'(x) = 0 pour x = racine(2)
    g'(x) > 0 pour x dans ]racine(2) ; oo[ --> g(x) est croissante.

    g(x) a un minimum pour x = racine(2), ce minimum vaut g(racine(2)) = (1/2).(2+2)/racine(2) = racine(2)

    --> g(V(x)) = (1/2)[(2+(V(n))²)/V(n)] >= racine(2)

    V(n+1) >= racine(2)

    Comme V(0) > racine(2), tous les termes de la suite Vn sont > racine(2)

    Comme V(n+1) - V(n) a le signe de (2-(V(n))²), on a donc: V(n+1) - V(n) < 0

    soit V(n+1) < V(n) --> la suite Vn est strictement décroissante.

    c)
    La suite Vn est strictement décroissante, V(0) = 2 et V(n) > racine(2) pour tout n de N

    --> racine(2) < V(n) <= 2 pour tout n de N

    V(n) n'est jamais nul et donc 2/V(n) est défini pour tout n de N, on peut par conséquent toujours calculer W(n)

    W(0) = 2/V(0) = 2/2 = 1
    W(1) = 2/V(1) = 2/(3/2) = 4/3
    W(2) = 2/V(2) = 2/(17/12) = 24/17
    W(3) = 2/V(3) = 2/(577/408) = 816/577

    Comme la suite Vn est strictement décroissante et que V(n) est stritement positif, la suite de terme général 2/V(n) est strictement croissante.

    On a montré avant que: racine(2) < V(n) pour tout n de N.
    avec V(n) > 0 --> 1/racine(2) > 1/V(n)
    2/racine(2) > 2/V(n)
    racine(2) > 2/V(n)
    2/V(n) < racine(2)
    W(n) < racine(2)

    On a donc: W(n) < racine(2) < V(n)

    d) D(n) = V(n) - W(n)
    D(n+1) = V(n+1) - W(n+1)

    Et comme Wn est une suite croissante, on sait que W(n+1) > W(n)
    --> D(n+1) < V(n+1) - W(n)

    Or :
    V(n+1) - W(n) = V(n+1) - 2/V(n) = (1/2).[V(n)+(2/V(n))] - 2/V(n)
    V(n+1) - W(n) = (1/2).V(n) + 1/V(n) - 2/V(n)
    V(n+1) - W(n) = (1/2).V(n) - 1/V(n)
    V(n+1) - W(n) = (1/2).V(n) - (1/2). 2/V(n)
    V(n+1) - W(n) = (1/2).V(n) - (1/2).W(n)
    V(n+1) - W(n) = (1/2).(V(n) - W(n))
    V(n+1) - W(n) = (1/2).D(n)

    et on a alors : D(n+1) = V(n+1) - W(n+1) < V(n+1) - W(n) = (1/2).D(n)

    D(n) = V(n) - 2/(V(n))
    D(n) = ((V(n))² - 2)/(V(n))

    Mais ensuite je n'y arrive plus, pouvez vous m'aider SVP
    Merci d'avance


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