Etudier la croissance et les limites d'une suite

Bonjour, j’ai un petit probleme sur des suite, j’ai ma fonction qui est f(n)=1/2[n+(2/n)] avec u « n »=f(n)

a)Il faut que je montre que cette suite est croissante strictement à partir de n=2
b) il faut que je determine la limite de la suite(u«n»)
c)il faut que je precise(u«n»/n)

Pour le a),j’ai dit que u«n»=n/2+1/n donc :
u«n»+1-u«n» = (n+1)/2+1/(n+1)-n/2-1/n = ½+1/(n+1)-1/n
Mais après je sais que : -u0 est impossible
-u1=0
-u2=1/3
Faut il que je le démontre de cette façon ??

Et les 2 questions suivantes je ne sais pas du tout comment il faut faire, pouvez vous m’aider svp
Je vous rassure c’est pas noté mais j’aimerais bien comprendre comment faire merci

Pour montrer que $U_n$ est croissante il faut étudier le signe de
$U_{n+1}$ - $U_n$
si tu trouves que cette diférence est >0 que pourras tu conclure sur la croissance de $U_n$ ? (c'est dans ton cours)

Tu viens d'étudier f(x) = (1/2)x + (1/x)
$U_n$ = f(n) pour n app/ $IN^*$
donc si tu connais la limite de f(x) pour x réel tendant vers inf/ tu dois bien pouvoir préciser la limite de $U_n$ pour n tendant vers inf/

Caluler $U_n$ /n est un simple calcul faisable en 1ère S

Pour le a), j'ai donc developper Un+1 - Un

Un+1 - Un = 1/2+1/(n+1)-1/n = (n²+n-2)/(2n²+2n)
donc 2n²+2n sera toujours positif

et n²+n-2= (n+1/2)² - 9/4 avec (n+1/2)² positif et croissant

donc f(2)=25/4-9/4=4 donc la suite sera bien positive et croissant en n=2

Pour le b), J'ai fait la limite de la suite Un donc:
lim Un=lim(1/2 + 1/n)=lim 1/n=+infini donc je peux en conclure que la limite ne s'arrete jamais.

Pour le c), limUn/n= lim (n/2+2/n)/n= lim (1/2 + 2/n²)=lim 2/n²=0

Est ce cela??

Bonjour je vais redonner l'enoncé! Car je n'arrive pas a faire le d) et e) du II)
I)
a)Il faut que je montre que cette suite est croissante strictement à partir de n=2
b) il faut que je determine la limite de la suite(u«n»)
c)il faut que je precise(u«n»/n)

J'ai donc trouvé:

U(n+1) - U(n) = (1/2).[n+1 +(2/(n+1))] - (1/2).[n+(2/n)]
= (1/2).[(n+1)²+2]/(n+1) - (1/2).(n²+2)/n
= (1/2).[n(n²+2n+3)-(n+1).(n²+2)]/[n(n+1)]
= (1/2).(n³+2n²+3n-n³-2n-n²-2)/[n(n+1)]
= (1/2).(n²+n-2)/[n(n+1)]
= (1/2).(n-1)(n+2)/[n(n+1)]

U(n+1) - U(n) = 0 pour n = 1
U(n+1) - U(n) > 0 pour n >= 2
--> La suite Un est strictement croissante à partir de n = 2.

b)

lim(n-> +oo) U(n) = lim(n->+oo) (1/2).[n+(2/n)] = +oo

c)U(n)/n = (1/2).(1+(2/n²))
U(n)/n = (1/2).(n²+2)/n²

lim(n-> oo) [U(n)/n] = (1/2).lim(n->oo) [(n²+2)/n²] = 1/2

II) Soit la suite(Vn) définie sur N* par :

V0=2
si n appartient à N*, Vn+1=f(Vn)

a)préciser sous forme de fraction irreductible les nombres V1,V2 et V3
b)en utilisant la premiere partie, prouver que :

pour tout entier n, on a Vn>0 et racine de 2<Vn
pour tout entier n, on a Vn>Vn+1 entraine Vn+1>Vn+2

En deduire que (Vn) est une suite strictement decroissante

c) Soit la suite (Wn) définie par: Wn=2/Vn

-Expliquer pourquoi on peut toujours calculer Wn
-Calculer les termes W0,W1,W2 et W3 sous forme de fractions irreductible
-Prouver que la suite (Wn) est strictement croissante et que l'on a Wn<racine de 2<Vn

d) on note pour tout entier n, Dn=Vn-Wn; prouver que :
Dn+1=Vn+1-Wn+1<Vn+1-Wn=1/2Dn
et 0<Dn<1/(2^n)

En deduire que la suite (Dn) converge vers 0
Quel est alors la limite de la suite(Vn)?

e) Quelle est la longueur de l'intervalle[W4;V4]? Commentaire?

J'ai donc trouvé:

a)

f(n)=(1/2)[n+(2/n)]

V(n+1) = (1/2)[V(n)+(2/V(n))]
V(0) = 2

V(1) = (1/2)[V(0)+(2/V(0))] = (1/2)[2+(2/2)] = 3/2
V(2) = (1/2)[V(1)+(2/V(1))] = (1/2)[(3/2)+(2/(3/2))] =(1/2)[(3/2)+(4/3)] = 17/12
V(3) = (1/2)[V(2)+(2/V(2))] = (1/2)[(17/12)+(2/(17/12))] = (1/2).[(17/12)+(24/17)] = 577/408

b)

V(n+1) - V(n) = (1/2)[V(n)+(2/V(n))] - V(n)
V(n+1) - V(n) = (1/V(n)) - (1/2).V(n)
V(n+1) - V(n) = (2-(V(n))²)/(2V(n))

Si V(n) > 0, alors , comme V(n+1) = (1/2)[V(n)+(2/V(n))] on a V(n+1) > 0
Comme V(0) > 0 --> tous les termes de Vn sont positifs.
--> V(n+1) - V(n) a le signe de (2-(V(n))²)

V(n+1) = (1/2)[V(n)+(2/V(n))] = (1/2)[(2+(V(n))²)/V(n)]

g(x) = (1/2)[(2+x²)/x] pour x > 0
g'(x) = (1/2)[(2x²-2-x²)/x²]
g'(x) = (1/2)[(x²-2)/x²]
g'(x) = (1/2)[(x-racine(2))(x+racine(2))/x²]
Comme x > 0, g'(x) a le signe de (x-racine(2))

g'(x) < 0 pour x dans ]0 ; racine(2)[ --> g(x) est décroissante.
g'(x) = 0 pour x = racine(2)
g'(x) > 0 pour x dans ]racine(2) ; oo[ --> g(x) est croissante.

g(x) a un minimum pour x = racine(2), ce minimum vaut g(racine(2)) = (1/2).(2+2)/racine(2) = racine(2)

--> g(V(x)) = (1/2)[(2+(V(n))²)/V(n)] >= racine(2)

V(n+1) >= racine(2)

Comme V(0) > racine(2), tous les termes de la suite Vn sont > racine(2)

Comme V(n+1) - V(n) a le signe de (2-(V(n))²), on a donc: V(n+1) - V(n) < 0

soit V(n+1) < V(n) --> la suite Vn est strictement décroissante.

c)
La suite Vn est strictement décroissante, V(0) = 2 et V(n) > racine(2) pour tout n de N

--> racine(2) < V(n) <= 2 pour tout n de N

V(n) n'est jamais nul et donc 2/V(n) est défini pour tout n de N, on peut par conséquent toujours calculer W(n)

W(0) = 2/V(0) = 2/2 = 1
W(1) = 2/V(1) = 2/(3/2) = 4/3
W(2) = 2/V(2) = 2/(17/12) = 24/17
W(3) = 2/V(3) = 2/(577/408) = 816/577

Comme la suite Vn est strictement décroissante et que V(n) est stritement positif, la suite de terme général 2/V(n) est strictement croissante.

On a montré avant que: racine(2) < V(n) pour tout n de N.
avec V(n) > 0 --> 1/racine(2) > 1/V(n)
2/racine(2) > 2/V(n)
racine(2) > 2/V(n)
2/V(n) < racine(2)
W(n) < racine(2)

On a donc: W(n) < racine(2) < V(n)

d) D(n) = V(n) - W(n)
D(n+1) = V(n+1) - W(n+1)

Et comme Wn est une suite croissante, on sait que W(n+1) > W(n)
--> D(n+1) < V(n+1) - W(n)

Or :
V(n+1) - W(n) = V(n+1) - 2/V(n) = (1/2).[V(n)+(2/V(n))] - 2/V(n)
V(n+1) - W(n) = (1/2).V(n) + 1/V(n) - 2/V(n)
V(n+1) - W(n) = (1/2).V(n) - 1/V(n)
V(n+1) - W(n) = (1/2).V(n) - (1/2). 2/V(n)
V(n+1) - W(n) = (1/2).V(n) - (1/2).W(n)
V(n+1) - W(n) = (1/2).(V(n) - W(n))
V(n+1) - W(n) = (1/2).D(n)

et on a alors : D(n+1) = V(n+1) - W(n+1) < V(n+1) - W(n) = (1/2).D(n)

D(n) = V(n) - 2/(V(n))
D(n) = ((V(n))² - 2)/(V(n))

Mais ensuite je n'y arrive plus, pouvez vous m'aider SVP
Merci d'avance