Maximum et minimum d'une fonction rationnelle

Bonjour, J'ai une question dans mon exo que je comprend pas Pouvez-vous m'aider
$\dfrac{2x²-2}{x²+2x+2}$
Montrer que pour tout réel x , -2< Q(x) > 4
Ps: ce sont des strictement ou égale

@Antho-77-Oliveira

Bonjour,
je pense qu'il faut montrer que $−2≤Q(x)≤4-2\leq Q(x)\leq 4$ .

Etudie les variations de la fonction.

Il faut que je calcule une dérivé ou pas car je ne sais pas faire ?

@Antho-77-Oliveira

Calcule la dérivée et construis le tableau de variations.

J'ai trouver 4x+4+2 sur (x²+2x+2)²

@Antho-77-Oliveira

La dérivée : $\dfrac{4x(x^2+2x+2)-(2x^2-2)(2x+2)}{(x^2+2x+2)^2}$
Après développement et simplification :
$\dfrac{4x^2+12x+4}{(x^2+2x+2)^2}=\dfrac{4(x^2+3x+1)}{(x^2+2x+2)^2}$

résous $x^2+3x+1= 0$ et étudie le signe de la dérivée.

ca fait x1 = -3-racinede5 sur 2 et x2 -3+racinede5 sur 2 ?
et le signe de la dérivé est positif

@Antho-77-Oliveira

Non,
le signe de la dérivée est négatif entre les racines et positif à l'extérieur des racines. Donc la fonction est croissante, décroissante puis croissante,.
Cherche les valeurs des bornes de chaque intervalles.

Bonjour,

@Antho-77-Oliveira , lorsque tu auras terminé la méthode proposée par @Noemi qui consiste à étudier les variations de la fonction $Q$ , pour trouver le maximum et le minimum et déduire l'encadrement demandée, je t'indique une autre méthode possible.
Pour entraînement, tu peux faire les deux méthodes mais bien sûr, tu en présentes une seule sur ta copie .

Pistes pour la seconde méthode,

$Q(x)=2x2−2x2+2x+2Q(x)=\dfrac{2x^2-2}{x^2+2x+2}$

On commence toujours par chercher l'ensemble de définition.
Ici : condition d'existence : dénominateur non nul

$x^2+2x+2$ a un discriminant négatif (-4), donc le polynôme est toujoure du signe de $a$ (coefficient de $x^2$ ) donc $a = 1$ , donc pour tout x réel :
$x2−2x+2>0x^2-2x+2\gt 0$ ( donc dénominanteur struictement positif, donc non nul)
$D_{Q}=R$

Raisonnements par équivalences logiques :

1 ) $Q(x)≤4\boxed{Q(x) \le 4}$ <=> $2x2−2x2+2x+2≤4\dfrac{2x^2-2}{x^2+2x+2}\le 4$

En multipliant par ( $x^2+2x+2$ ) qui est strictement positif, cela équivaut à : $2x2−2≤4(x2+2x+2)2x^2-2\le 4(x^2+2x+2)$ , c'est à dire , en simplifiant par 2:
$x2−1≤2x2+4x+4x^2-1\le 2x^2+4x+4$ <=> $x2+4x+5≥0x^2+4x+5\ge 0$
(toujours vrai, car discriminant négatif donc toujours du signe du coefficient de $x^2$ .
$\le 4$ est vraie pour tout $x$ réel.

2 ) $Q(x)≥−2\boxed{Q(x) \ge -2 }$ <=> $2x2−2x2+2x+2≥−2\dfrac{2x^2-2}{x^2+2x+2}\ge -2$
Démarche identique.
Après calculs, sauf erreur, cela équivaut à $2x2+2x+1≥02x^2+2x+1\ge 0$ , toujours vrai , d'où:
$\ge -2$ est vraie pour tout $x$ réel.

D'où la conclision.

Tu as le choix !