DM,Suites Numériques

[noni elodie]

On considère la suite (u
n
) telle que : u
0
=1 et u
n+1 = 5u
n
+8 pour tout entier naturel n.

1. On considère la suite (v
   n
   ) définie par : v
   n
   = u
   n
   +2 pour tout entier naturel.
   a. Calculer v
   0
   , v
   1
   et v
   2
   après avoir calculé u1 et u2.
   b. En observant les valeurs de v
   0
   , v
   1
   et v
   2
   , conjecturer la nature de la suite (vn).
   c. Démontrer que la suite (v
   n
   ) est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
   d. Déterminer l'expression de v
   n
   en fonction de n puis celle de un en fonction de n.
2. Déduire de la question précédente la limite de la suite (un). Justifier
   Exercice 2 :
   On considère la suite (un) telle que : u0 = 1 et pour tout entier naturel n : un+1 = 2un − n +3
3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : un = 3×2n + n −2.
4. En déduire la limite de la suite (un).

[Noemi]

@noni-elodie Bonsoir, (Marque de politesse à ne pas oublier !!)

Le début de l'énoncé est difficile à lire. Merci de le rectifier.

[noni elodie]

@Noemi Bonsoir ,Est-ce que vous pouvez m'aider a faite cette exercices s'il te plaît ?
Car j'arrive pas le faire. Voici mon exercices
On considère la suite (un) telle que : u0=1 et un+1 = 5un+8 pour tout entier naturel n.

1. On considère la suite (vn) définie par : vn= un+2 pour tout entier naturel.
   a. Calculer v0, v1et v2 après avoir calculé u1 et u2.
   b. En observant les valeurs de v0, v1et v2, conjecturer la nature de la suite (vn).
   c. Démontrer que la suite (vn) est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
   d. Déterminer l'expression de vn en fonction de n puis celle de un en fonction de n.
2. Déduire de la question précédente la limite de la suite (un). Justifier
   Exercice 2 :
   On considère la suite (un) telle que : u0 = 1 et pour tout entier naturel n : un+1 = 2un − n +3
3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : un = 3×2n + n −2.
4. En déduire la limite de la suite (un).

[Noemi]

@noni-elodie

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.
$v_0=u_0+2$, $v_0=1+2=....$

Calcule $u_1$,

[noni elodie]

@Noemi

u1=51+18=13
u2=513+8=18
après avoir calculé u1 et u2 ;
v0=1+2=3
v1=13+2=15
v2=18+2=20
c'est ça ?

[Noemi]

@noni-elodie
$u_1$ est juste : $u_1=5\times 1+8=13$
$u_2=5\times 13+8=73$

$v_0=3$, $v_1=15$, $v_2=75$

Passe aux questions suivantes
b)
c)
...

[noni elodie]

@Noemi
bonsoir
j'ai pas compris la question B et C

[Noemi]

@noni-elodie

La question b) est de proposer une conjecture :
Par exemple la suite $(v_n)$ est géométrique car $v_1=5v_0$ et $v_2=5v_1$

La question c), il faut le démontrer que $v_{n+1}=5v_n$
$u_{n+1}=5u_n+8$
Or $u_n=v_n-2$
donc
$u_{n+1}=5(v_n-2)+8=5v_n-10+8=....$
Expression que tu remplaces dans :
$v_{n+1}=u_{n+1}+2$
puis tu conclus
....

[noni elodie]

@noni-elodie
Bonsoir

Mais J'ai rien compris
Est-ce que vous pouvez le faire facilité s'il vous plaît

[noni elodie]

@Noemi
Bonsoir

Mais J'ai rien compris
Est-ce que vous pouvez le faire facilité s'il vous plaît

[mtschoon]

Bonsoir,

@noni-elodie , je passe par là, alors je regarde ton problème, mais je ne sais pa où tu bloques.

Peut-être que @Noemi t'expliquera demain.

Bien sûr, apprends avec soin ton cours sur les suites géométriques.

J'explicite, si besoin :

Tu sais que $V_0=3,V_1=15$ et $V_2=75$

On passe d'un terme au suivant en multipliant par 5
$V_1=5V_0$ et $V_2=5V_1$
$V_1,V_2,V_3$ sont donc en suite géométrique de premier terme $V_0=3$ et de raison $q=5$ : c'est ça la conjecture sur la suite $(V_n)$

C'est seulement une conjecture car cela n'est basé que sur 3 termes.

Au c) , il faut démontrer que cette propriété est vraie pour tout $n$ de $N$ , c'est à dire que pour tout $n$ de $N$ : $V_{n+1}=5V_n$

Je tente une explication, mais j'ignore si elle sera claire pour toi.

Par hypothèse , pour tout $n$ : $V_n=U_n+2$
Donc tu peux écrire : $V_{n+1}=U_{n+1}+2$
Dans cette égalité, tu remplaces $U_{n+1}$ par $5U_n+8$ (c'est une hypothèse), donc :
$V_{n+1}=5U_n+8+2$
Tu comptes :
$V_{n+1}=5U_n+10$
Tu mets 5 en facteur :
$V_{n+1}=5(U_n+2)$
Tu sais que $V_n=U_n+2$ donc tu teux remplacer $U_n+2$ par $V_n$ , d'où
$\boxed{V_{n+1}=5V_n}$

Regarde tout ça de près et essaie de poursuivre.

[noni elodie]

@mtschoon

Ok merci beaucoup

[mtschoon]

@noni-elodie , c'est très bien si tu as compris.

Tu ne dois pas avoir de difficulté pour terminer cet exercice.
Tu appliques ton cours :
$V_n=V_0{q}^n$
puis tu déduis $U_n$ ave $U_n=V_n-2$

Tu peux donner tes résultats si tu souhaites une vérification.

Remarque : ici, il faut un seul exercice par discusion.
Si ce n'est pas déjà fait, ouvre une autre discussion pour l'exercice 2 si tu as besoin d'aide.

[noni elodie]

@mtschoon
bonjour
le pire c'est que le prof nous a même pas donné les cours
il nous a juste dit de débrouiller tout seul

[Noemi]

@noni-elodie

Comme déjà indiqué, précise ce que tu n'as pas compris.
Bizarre que le professeur n'ait pas donné de cours. Tu es dans quelle série en terminale ?
Tu peux regarder ce cours : https://www.mathforu.com/premiere-s/les-suites-en-1ere-s/

[mtschoon]

@noni-elodie a dit dans DM,Suites Numériques :

@mtschoon
bonjour
le pire c'est que le prof nous a même pas donné les cours
il nous a juste dit de débrouiller tout seul

@noni-elodie , si tu as bien compris cet exercice avec les explications données ici , c'est très bien !

Compte sur nous si tu as besoin (un seul exercice par discussion).