4. intégrales + suites

intégrales + suites

  • B

    Bonjour,

    pouvez vous m'aider svp car je bloque sur certaines questions.Merci

    On considère la fonction f définie sur ]-5/2;+infini[ par f(x)=e^x/(-2x-5).

    1-Dresser le tableau de variations complet de f.
    J'ai calculer f'(x)=(e^x*(-2x-5)+2e^x)/(-2x-5)².
    Et je trouve que f est décroissante sur cette intervale.
    f(-5/2) n' est pas défini, mais je peut dire quelle est égale à 0.
    Et lim de f en +infini= - l'infini.

    2-Préciser le maximum M et le minimum m de f sur [0;1].
    J'ai calculer f(o)=-1/5 qui est le maximum M puisque f est décroissante
    Et f(1)=-e/7 qui est le minimum m de f

    3-Prouvez qu'il existe 2 tangentes à Cf qui contienne l'origine.
    Y - f(x) = f '(x) [X - x] si la tangente passe par l'origine, alors (X,Y) = (0,0) donne une solution en x
    j'ai trouvé ensuite 2x² - 5 = 0

    mais après je ne vois pas comment prouver qu'il existe 2 tangentes à Cf qui contienne l'origine.

    On pose J=intégrale sur [0;1] de f(t) dt.Le but de cette partie est d'encadre cette intégrale qu'on ne cherchera donc pas à calculer directement.
    Pour tout entier naturel n on pose Un=(-1)^n*(2^n/5^n+1)intégrale de[0;1] de e^tt^n dt.

    1-Calculer U0.
    J'ai trouver U0=(e/5)-(1/5).

    2-A l'aide d'une intégration par parties, établir une relation de récurrence entre Un et Un-1.
    J'ai trouver que Un= (-1)^n * (2n)/(5^n+1) * e + 2/5 * n * Un-1
    Est-ce juste?

    3-En déduire les valeurs exactes de U1,U2,U3 etU4.
    Je n'arrive pas à retrouver ces valeur de U avec la relation de récurrence.

    U1 = (-1)^1 * * (2^1)/(5^1+1) * e + 2/5 * 1 * U0= (-2/25) * e + 2/5 * U0
    Or U0 = e-1/5

    Donc U1=(-2/25) * e + 2/5 * (e-1)/5 = (-2)/25
    U2= 4e-8/125
    U3=16e –48/625
    U3=144e – 384/3125 => est ce juste ???

    4-On pose Sn=U0+U1+....+Un.Caluler Sn sous forme d'intégrale et en déduire que : Sn-J=(-1)^n*(2^n+1/5^n+1)intégrale de[0;1] de (e^tt^n+1)/(-2t-5)
    Je ne vois pas comment calculer Sn sous forme d'intégrale ?

    5-Prouver que valeur absolu de (Sn-J) est inférieur ou égale à: (k/n+2)*(2/5)^n+1 ou k est une constante qu'on précisera. En déduire que Sn converge en précisant sa limite.
    Je n'est pas réussie à trouver, pouvez vous m'aider?

    6-Prouver que Sn et Sn+1 encadrent J.Donner un exemple d'un encadrement dont on précisera l'amplitude.
    Je ne vois pas comment faire?

    Merci de m'aider

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