Bonjour je suis nouveau ici j'ai un problème avec un exercice type baccalauréat

Soit k un réel strictement positif. On considère les fonctions fk définies sur R par :
fk(x) = x exp(1-kx²)

Pour tout réel k strictement positif, la fonction fk admet2 extremum sur R. La valeur en laquelle
ces extremum sont atteint est l’abscisse du point noté Ak pour le minimum et Bk pour le maximum de la courbe Ck
Il semblerait que, pour
tout réel k strictement positif, les points Ak et bk soient alignés. Est-ce le cas ?

Pour cela pour répondre au problème je dosi prouver que les points sont sur la même droite

Donc j'ai calculer fk'= exp(1 - kx²) [ 1 + x ) x (-2k)
Puis j'ai fais Fk'= 0
donc j'ai trouver 2k exp(1-k²) = 0
pour calculer l'un des extremum donc le le minimum de la fonction puis apres pour le maximum je ne sais pas
je pense que je dois mettre le résultat de F' dans la fonction x

Je galère un peu

@edouard-Maurice , bonjour,

Regarde ici et reposte si besoin.
https://exomorphisme.fr/static/media/pdfs/ts/Bac/4-FonctionLogarithme/2017 Liban Exo3/2017 Liban Exo3 Correction.pdf

je comprend pas j'ai déjà dis bonjour dans l'intitulé du poste et je comprend toujours pas comment ils ont fait pour avoir les coordonnés d'un point

pour f'k=0

j'ai trouver exp(1-k²) = 0
donc après je bloque

@edouard-Maurice Bonjour,

Pour $f_k(x)= xe^{1-kx^2}$ , la dérivée est
$fk′(x)=e1−kx2+x×(−2kx)e1−kx2f'_k(x)=e^{1-kx^2}+x\times(-2kx)e^{1-kx^2}$
soit
$f'_k(x)=e^{1-kx^2}(1-2kx^2)$

Résoudre $f'_k(x)=0$ revient à résoudre $1-2kx^2)=0$

je te laisse poursuivre.

@edouard-Maurice ,

Effectivement @edouard-Maurice , tu avais bien écrit ta formule de politesse.
Comme en principe elle doit être au début du texte et non dans le titre, je ne l'avais pas vu...désolée!

Le lien que je t'ai proposé de consulter te donne le principe à utiliser mais ce n'est pas la même fonction $f_k$

La dérivée que tu proposes n'est pas bonne.

@Noemi vient de te la calculer (dérivée d'un produit).

Essaie de poursuivre et reposte si besoin.

j'ai trouve x²= -1/2k

donc l'inconnue que on cherche est bien x = racine carrée de -1/2k

@edouard-Maurice

Vérifie le signe et le nombre de solution.

@edouard-Maurice , tu aurais dû trouver :

$x2=12kx^2=\dfrac{1}{2k}$ d'où deux valeurs (opposées) de x

@mtschoon vous sous entendez qu'il y a 2 possibilités de pour x

Car nous somme bien d'accord que pour passer de : 1- 2kx² = 0
On fait: 2kx²= -1

Non @edouard-Maurice , tu fais une erreur de signe.

$1-2kx^2=0$ <=> $2kx^2=-1$ <=> $2kx^2=1$ <=> $x2=12kx^2=\dfrac{1}{2k}$

effectivement j'ai pas fais attention merci de votre attention mtschoon

@edouard-Maurice

Tu obtiens donc : $x=12kx=\dfrac{1}{\sqrt{2k}}$ et $x=−12kx=-\dfrac{1}{\sqrt{2k}}$

Tu calcules maintenant $f(12k)f(\dfrac{1}{\sqrt{2k}})$ et $f(−12k)f(-\dfrac{1}{\sqrt{2k}})$

Donc pour le tableau de signe et la solution
On va voir le signe de exp(1-kx²) et 1-2kx²

Comme exp est toujours strictement supérieur a 0
exp(1-kx²) est positive

De plus Pour 1-2kx² s'annule en x= racine carré de 1/2k
donc la dérivé est positive puis négatif

Donc la dérivé est positive puis s'annule en x et négatif après

ah je me suis trompé du coup je vais calculer les x pour obtenir l'extremum de la fonction

juste pour pour précises dire que x= racine careé de 1/2k

C'est pareille de dire que x= 1/racine carré de 2k

@edouard-Maurice

@edouard-Maurice a dit dans Bonjour je suis nouveau ici j'ai un problème avec un exercice type baccalauréat :

juste pour pour précises dire que x= racine careé de 1/2k

C'est pareille de dire que x= 1/racine carré de 2k

OUI

donc pour f(1/racine carre de 2k)= 1/racine caree de 2k exp(1-k x (1/racine carre de 2k)² et

Pour l'autre pareille mais avec le moin qui change pas grand chose

Pour le tableau de signe j'ai trouver F' est négatif puis positif puis négatif

@edouard-Maurice , je crois que tu t'égare...regarde le lien que je t'ai indiqué en exemple.

@edouard-Maurice a dit dans Bonjour je suis nouveau ici j'ai un problème avec un exercice type baccalauréat :

l semblerait que, pour
tout réel k strictement positif, les points Ak et Bk soient alignés. Est-ce le cas ?

Comme je t'ai déjà dit ici :
@mtschoon a dit dans Bonjour je suis nouveau ici j'ai un problème avec un exercice type baccalauréat :

@edouard-Maurice

Tu obtiens donc : $x=12kx=\dfrac{1}{\sqrt{2k}}$ et $x=−12kx=-\dfrac{1}{\sqrt{2k}}$

Tu calcules maintenant $f(12k)f(\dfrac{1}{\sqrt{2k}})$ et $f(−12k)f(-\dfrac{1}{\sqrt{2k}})$

Lorsque tu auras fait ces deux calculs, en faisant une bonne observation, tu verras où se trouvent ces points (sur une droite, ou pas ).

Pour les calcule j'ai trouver le meme résultat que le poste que j'ai posté et dans la courbe il semblerait que les point se trouvent dans une droite

Donc du coup il faut calculer l'équation de la droite

@edouard-Maurice ,

Il y a des simplifications à faire, pour pouvoir observer.

Sauf erreur, après simplifications,
$f(12k)=e2k=e(12k)f(\dfrac{1}{\sqrt{2k}})=\dfrac{\sqrt e}{\sqrt{2k}}=\sqrt e (\dfrac{1}{\sqrt{2k}})$

$f(−12k)=−e2k=e(−12k)f(-\dfrac{1}{\sqrt{2k}})=-\dfrac{\sqrt e}{\sqrt{2k}}=\sqrt e (-\dfrac{1}{\sqrt{2k}})$

Il me semble que, sans calcul, tu dois "voir" l'équation de la droite où sont situés ces points.

Effectivement je vois sans calcul c'est juste moi qui n'avais pas vu
Merci de votre aide

@edouard-Maurice , de rien !

J'espère que tu as "vu" que les points considérés étaient sur la droite d'équation $xy=\sqrt e\ x$