Inégalité de Cauchy-Schwarz.

Problème: Inégalité de Cauchy-Schwarz

Soient nЄR et a1, a2,..., an, b_{1}, b_{2} ,...,b n E R. On souhaite montrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz:

sum k = 1 to n a k b k <= sqrt sum k=1 ^ n a k ^ 2 sqrt sum k=1 ^ n b k ^ 2 1. Justifier que l'inégalité est vérifiée si b_{1} = b_{1} =...=b n =0.
On suppose donc que l'un des b_{k} , k in\ 1, 2 ,...,n\ est non nul. Soit x in mathbb R on définit f(x) = sum k = 1 to n (a_{k} + x*b_{k}) ^ 2

Justifier que f(x) >= 0
Montrer que l'on peut écrire f(x) = A * x ^ 2 + Bx + C avec A= sum k = 1 to n b k ^ 2 ,

B=2 sum k = 1 to n a k b k et C= sum k = 1 to n a k ^ 2 . et

Quelle est la nature de la fonction f ainsi définie ? Peut-elle changer de signe sur R ? Pourquoi ne peut-elle pas admettre deux racines réelles

distinctes?

En déduire que le discriminant A de ƒ est négatif ou nul et démontrer

l'inégalité de Cauchy-Schwarz en le calculant.

Soit n in mathbb N montrer que:

sum k = 0 to n sqrt(binomial(n,k)) <= sqrt(2 ^ n * (n + 1))

sum k = 0 to n binomial(n,k) = 2 ^ n Indication: On rappelle queet on appliquera l'inégalité de

Cauchy-Schwarz.
Bonjour ; S il vous plaît je ne comprends pas très bien ce problème et on a pas encore fait le cours en classe c est un D.m du professeur pour mardi.
Merci!!!!

@vnll Bonsoir,

Les expressions sont difficiles à lire. Peux-tu les modifier ?

@Noemi bonjour d accord!
Problème: Inégalité de Cauchy-Schwarz

Soient nЄR et a1, a2,..., a indice n, b_{1}, b_{2} ,...,b n E R. On souhaite montrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz:

somme(£) k = 1 to n a k b k <ou = racine carrée somme k=1 ^ n a k ^ 2 racine carrée somme k=1 ^ n b k ^ 2

Justifier que l'inégalité est vérifiée si b_{1} = b_{1} =...=b n =0.
On suppose donc que l'un des b_{k} , k appartenant à \ 1, 2 ,...,n\ est non nul. Soit x appartenant à R, on définit f(x) = somme k = 1 à n (a_{k} + x*b_{k}) ^ 2
Justifier que f(x) >= 0
Montrer que l'on peut écrire f(x) = A * x ^ 2 + Bx + C avec A= somme k = 1 à n de b^2k ,

B=2 somme k = 1à n de Ak Bk et C= somme k = 1 à n de A^2k . et

Quelle est la nature de la fonction f ainsi définie ? Peut-elle changer de signe sur R ? Pourquoi ne peut-elle pas admettre deux racines réelles

distinctes?

En déduire que le discriminant A de ƒ est négatif ou nul et démontrer

l'inégalité de Cauchy-Schwarz en le calculant.

Soit n appartenant à N montrer que:

somme k = 0 à n racine carrée(binomial(n,k)) <ou= racine carrée(2 ^ n * (n + 1))

Indication: On rappelle que somme k = 0 à n binomial(n,k) = 2 ^ n on appliquera l'inégalité de

Cauchy-Schwarz.
J ai éssayer de modifier quelques truks j espère que c est mieux...

@vnll

Regarde ce lien : https://www.mathraining.be/chapters/14?type=1&which=89

@Noemi d accord c est un cours??? Maintenant je suis à l école.

@vnll

As tu vérifié l'égalité avec les $b_k$ nuls ?

@Noemi non non à quel niveau?

@vnll
C'est la première question.

@Noemi c est b1 =b1=...=bn=0

@vnll

Oui.

@Noemi d accord vous vous étés retrouvé???

@vnll

Que veux-tu dire ?

@Noemi non je demande si le lien était un cours avec lequel je devrais me servir pour traiter mon devoir???

@vnll

Oui, le lien est un cours qui donne une démonstration de l'inégalité.

@Noemi d accord merci beaucoup !!!