Dm sur les matrices en maths expertes assez urgent

[floflowww]

Bonjour tout le monde, voilà j’ai un dm en Option maths expertes sur les matrices et je bloque dessus alors je voulais savoir si quelqu’un aurait la réponse.

Énoncé : Soient A et B deux matrices carrées non nulles d’ordre n telles que A+B=In (la matrice unité)

Soit M une matrice carrée d’ordre n telle qu’il existe deux réels non nuls et distincts y et z vérifiant M=yA+zB et
M^2 (au carré) = y ^2 x A + z^2 x B

1. Montrer que (M - y x In) x (M - z x In) = 0n

2. En déduire que AB = BA = 0n et que A^2 = A et
   B^2 = B

3. Démontrer que pour tout entier naturel p, on a :
   M^p = y^p x A + z^p x B

Ça m’aiderait beaucoup si quelqu’un pouvait répondre à ça et je lui en serai éternellement reconnaissante !

[draxio]

Bonjour @floflowww,
Voici quelques conseils pour réussir à le faire,

1. on fait une double distributivité puis on remplace avec les données de l'énoncé ($M$,$M^2$,$A+B=I_n$)
2. on remplace $I_n$ par $A+B$ dans les deux membres du produits de l'équation de la 1).
   Et on remarque $BA=0_n$ (z et y distinct)
   $I_n$ commute avec les autres matrices d'où on peut aussi écrire $(M-z\times I_n)(M-y\times I_n)=0_n$ qui implique $AB=0$ par la même méthode.
   $A^2=A(I_n-B)$ et $B^2=B(I_n-A)$
   3.) Récurrence sur p, on suppose $M^P$=(...)(HR) et on considère $M^{p+1}$(ll faut utiliser la 2))

[floflowww]

@draxio merci pour votre réponse, je vais essayer de faire au mieux, merci d’avoir pris ce temps pour répondre